METODO DI BÈZOUT O METODO DEI COEFFICIENTI INDETERMINATI
- Sistemi di equazioni
- Sistemi di tre equazioni in tre incognite
- Raccoglimento a fattor comune parziale
- Metodo di confronto
- Risoluzione di un sistema di equazioni lineari
Un sistema di equazioni lineari di tre equazioni in tre incognite può essere risolto con il METODO di BÈZOUT, dal nome del matematico francese che lo ha elaborato. Tale metodo è detto anche dei COEFFICIENTI INDETERMINATI.
Vediamo come funziona questo metodo attraverso un esempio. Supponiamo di voler risolvere il seguente sistema:
Indichiamo con v e con u DUE INCOGNITE AUSILIARIE.
Ora:
- lasciamo la prima equazione così com'è;
- MOLTIPLICHIAMO la seconda equazione per la v;
- MOLTIPLICHIAMO la terza equazione per la u.
Quindi avremo:
Ora SOMMIAMO MEMBRO A MEMBRO le tre equazioni e avremo:
2x +y -z +ux -2uy -2uz +vx -vy +vz = 7 +4u -v.
Attraverso il RACCOGLIMENTO a FATTORE COMUNE PARZIALE mettiamo in evidenza la x, la y e la z, così:
x (2 +u +v) +y (1 -2u -v) +z (-1 -2u +v) = 7 +4u -v.
Ora vogliamo trovare i valori di u e v che annullano contemporaneamente il coefficiente della y e quello della z. Così facendo potremo trasformare la nostra equazione in un'equazione con la sola incognita x.
Trovare i valori di u e v che annullano contemporaneamente il coefficiente della y e quello della z significa risolvere il seguente sistema:
Ora risolviamo questo sistema col metodo del confronto. Ovviamente potevamo impiegare qualsiasi altro metodo di risoluzione di un sistema di due equazioni lineari in due incognite.
Quindi avremo:
-2u +1 = 2u +1
-2u -2u = 1 -1
-4u = 0
u =0.
Sostituiamo il valore di u appena ottenuto nella prima equazione del sistema ovvero in:
1 - 2u - v = 0
1 -2 · (0) - v = 0
1 - v = 0
-v = - 1
v = 1.
Adesso sostituiamo i valori di u e di v appena ottenuti nella equazione che abbiamo scritto in precedenza in rosso e avremo:
x (2 +u +v) +y (1 -2u -v) +z (-1 -2u +v) = 7 +4u -v
x (2 +0 +1) +y (1 -0 -1) +z (-1 -0 +1) = 7 +0 -1
3x +0y +0z = 6
3x = 6
x = 2.
Abbiamo trovato il valore della prima incognita. Ora passiamo a trovare il valore della y.
Per fare questo cerchiamo i valori di u e v che annullano contemporaneamente il coefficiente della x e quello della z. Così facendo potremo trasformare la nostra equazione in un'equazione con la sola incognita y.
Trovare i valori di u e v che annullano contemporaneamente il coefficiente della x e quello della z significa risolvere il seguente sistema:
Ora risolviamo questo sistema col metodo del confronto. Ma come abbiamo detto prima potremmo impiegare qualsiasi altro metodo di risoluzione di un sistema di due equazioni lineari in due incognite.
Quindi avremo:
-2 -u = 1 +2u
-u -2u = 1 +2
-3u = 3
u = -1.
Sostituiamo il valore di u appena ottenuto nella prima equazione del sistema ovvero in:
2 +u +v = 0
2 -1 +v =0
1 +v = 0
v = -1.
Adesso sostituiamo i valori di u e di v appena ottenuti nella equazione che abbiamo scritto in precedenza in rosso e avremo:
x (2 +u +v) +y (1 -2u -v) +z (-1 -2u +v) = 7 +4u -v
x (2 -1 -1) +y (1 +2 +1) +z (-1 +2 -1) = 7 -4 +1
0x +4y +0z = 4
4y = 4
y = 1.
Abbiamo trovato così anche il valore della seconda incognita. Ora passiamo a trovare il valore della z.
Per fare questo cerchiamo i valori di u e v che annullano contemporaneamente il coefficiente della x e quello della y. Così facendo potremo trasformare la nostra equazione in un'equazione con la sola incognita z.
Trovare i valori di u e v che annullano contemporaneamente il coefficiente della x e quello della y significa risolvere il seguente sistema:
Ora risolviamo col metodo del confronto.
Quindi avremo:
-2 -u = 1 -2u
-u +2u = 1 +2
u = 3.
Sostituiamo il valore di u appena ottenuto nella prima equazione del sistema ovvero in:
2 +u +v = 0
2 +3 +v =0
v = -2 -3
v = 5.
Adesso sostituiamo i valori di u e di v appena ottenuti nella equazione che abbiamo scritto in precedenza in rosso e avremo:
x (2 +u +v) +y (1 -2u -v) +z (-1 -2u +v) = 7 +4u -v
x (2 +3 -5) +y (1 -6 +5) +z (-1 -6 -5) = 7 +12 +5
0x +0y -12z = 24
-12 z =24
z = -2.
Abbiamo trovato così anche la terza incognita.
ATTENZIONE!!! Il metodo di Bèzout può creare l'inconveniente di creare un sistema ausiliario impossibile da risolvere.
In pratica quando impostiamo il sistema per cercare i valori di u e v che annullano contemporaneamente due dei coefficienti, dato che inseriamo delle incognite ausiliarie, potrebbe accadere che il sistema è impossibile, mentre il sistema di partenza (quello di cui cerchiamo la x, la y e la z) non lo è.
Per risolvere questo inconveniente è sufficiente prendere le equazioni del sistema di partenza in un ordine diverso e moltiplicare, ad esempio, la prima per u e la terza per v e poi sommare membro a membro.
Il metodo che abbiamo appena visto può essere usato per risolvere anche sistemi con più di tre equazioni di primo grado in altrettante incognite (esempio: sistemi di quattro equazioni in quattro incognite, di cinque equazioni in cinque incognite, ecc..).
