FORMULA DI BISEZIONE DEL SENO
Dopo aver parlato delle formule di addizione e sottrazione e delle formule di duplicazione e triplicazione delle funzioni goniometriche, ora iniziamo ad occuparci delle FORMULE DI BISEZIONE, cioè di quelle formule che ci consentono di esprimere una funzione goniometrica (seno, coseno, tangente, cotangente) dell'angolo α/2 in funzione dell'angolo α.
In questa lezione andremo a vedere la FORMULA DI BISEZIONE del SENO.
Iniziamo col dire che l'angolo α può essere scritto come il prodotto tra 2 e α/2:
Di conseguenza, possiamo scrivere il coseno dell'angolo α come:
Parlando della FORMULA di DUPLICAZIONE del COSENO abbiamo visto che essa può essere scritta in diversi modi. Uno di questi è:
cos 2α = 1 - 2 sen2α
Se noi al posto dell'angolo α abbiamo l'angolo α/2 la nostra formula diventa:
Ma come abbiamo detto, il prodotto tra 2 e α/2 non è altro che α. Di conseguenza il coseno di 2 per α/2 non è altro che il coseno di α.
Quindi possiamo scrivere:
Poiché noi stiamo cercando la formula di bisezione del seno portiamo a primo membro il seno al quadrato di α/2 cambiandogli di segno e spostiamo il coseno a secondo membro cambiandogli di segno.
Dividiamo entrambi i membri per 2:
Estraiamo la radice quadrata dal primo e dal secondo membro, ed otteniamo:
Da cui ricaviamo:
Quella che abbiamo appena scritto è la FORMULA DI BISEZIONE del SENO.
Ora facciamo un'osservazione per quanto concerne il SEGNO con il quale occorre prendere la formula. Poiché abbiamo estratto la radice quadrata a primo e secondo membro, il secondo membro deve essere preso sia con segno positivo che negativo. Quando ci troviamo ad applicare questa formula, ad un caso concreto, la scelta del segno + o - da porre davanti alla radice, va fatta in base al SEGNO del SENO di α/2.
Cerchiamo di capire questo concetto attraverso un esempio.
Ipotizziamo di voler calcolare:
sen (π/8)
Possiamo scrivere π/8 come (π/4)/ 2 ed applicare la formula di bisezione del seno.
Per quanto concerne il segno con cui dobbiamo prendere la formula, va osservato che π/8 si trova nel primo quadrante: quindi il seno avrà sicuramente valore positivo, dato che per gli angoli del primo quadrante il seno varia da 0 a +1. Quindi la formula da applicare, nel nostro caso, sarà con segno positivo:
Nella prossima lezione ci occuperemo della formula di bisezione del coseno.
