SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA DELLE DISEQUAZIONI
- Disuguaglianze e disequazioni
- Disequazioni equivalenti
- Principi di equivalenza delle disequazioni
- Primo principio di equivalenza delle disequazioni
- Raccoglimento a fattor comune
- Moltiplicazione di numeri relativi
- Confronto di numeri relativi
Nelle lezioni precedenti abbiamo visto cosa dicono i due PRINCIPI DI EQUIVALENZA DELLE DISEQUAZIONI e ci siamo fermati ad analizzare il PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA.
Vediamo, ora, un po' più da vicino cosa afferma il secondo principio di equivalenza delle disequazioni.
Abbiamo già detto che il SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA afferma che MOLTIPLICANDO o DIVIDENDO entrambi i membri di una disequazione per uno STESSO NUMERO diverso da zero (o per una STESSA ESPRESSIONE che non possa annullarsi), si ottiene:
- una disequazione EQUIVALENTE a quella data se il numero è POSITIVO;
- se il numero è NEGATIVO per ottenere una disequazione equivalente a quella data occorre INVERTIRE il VERSO DELLA DISEQUAZIONE.
Esempio:
supponiamo di avere la seguente disequazione
A > B.
Dove abbiamo utilizzato A per indicare tutto ciò che è a primo membro della nostra disequazione e B per indicare tutto ciò che si trova a secondo membro.
Ora moltiplichiamo, sia il primo che il secondo membro della nostra disequazione, per C. C potrà essere:
- un NUMERO
- una ESPRESSIONE CONTENENTE L'INCOGNITA.
Se si tratta di un numero esso non
deve essere lo zero, se di tratta di una espressione essa non
deve potersi annullare.
Immaginiamo che C assuma valore positivo, ovvero
C > 0.
Avremo:
AC > BC.
La disequazione
A
> B
per il PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA può essere scritta anche come:
A - B > 0.
Infatti sappiamo che possiamo TRASPORTARE
un TERMINE di una disequazione DA UN
MEMBRO ALL'ALTRO CAMBIANDOGLI DI SEGNO.
Sempre per il primo principio di equivalenza, possiamo scrivere la disequazione
AC > BC
nella seguente forma:
AC - BC > 0.
Ora, mettendo in evidenza la C possiamo scrivere:
C (A - B) > 0.
Per la REGOLA DEI SEGNI, il prodotto sarà positivo quando entrambi i termini sono positivi o entrambi sono negativi.
Però, dato che abbiamo posto che C è positivo la nostra disequazione è verificata solamente quando
A - B > 0
ovvero
A > B.
Pertanto ogni soluzione di
A > B
e anche soluzione di
C (A - B) > 0
e viceversa.
Ora torniamo alla nostra disequazione
A > B.
e moltiplichiamo, sia il primo che il secondo membro per C.
Questa volta, però, supponiamo che C assuma valore negativo, ovvero
C < 0.
Avremo:
AC > BC.
La disequazione
A
> B
per il PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA può essere scritta anche come:
A - B > 0.
Infatti sappiamo che possiamo TRASPORTARE un TERMINE di una disequazione DA UN MEMBRO ALL'ALTRO CAMBIANDOGLI DI SEGNO.
Sempre per il primo principio di equivalenza, possiamo scrivere la disequazione
AC > BC
nella seguente forma:
AC - BC > 0.
Ora, mettendo in evidenza la C possiamo scrivere:
C (A - B) > 0.
Per la REGOLA DEI SEGNI, il prodotto sarà positivo quando entrambi i termini sono positivi o entrambi sono negativi.
Però, dato che abbiamo posto che C è negativo la nostra disequazione è verificata solamente quando
A - B < 0
ovvero
A < B.
Pertanto se MOLTIPLICHIAMO entrambi i termini di una disequazione per un NUMERO NEGATIVO, otteniamo una DISEQUAZIONE EQUIVALENTE a quella data CAMBIANDO il VERSO della disequazione.
Facciamo un esempio numerico per comprendere meglio il concetto. Scriviamo la seguente disuguaglianza:
4 > 3.
Moltiplichiamo entrambi i termini della diseguaglianza per 2. Avremo:
2 · 4 > 3 · 2
8 > 6.
Come possiamo notare anche questa diseguaglianza è vera.
Torniamo alla diseguaglianza di partenza
4 > 3
e moltiplichiamo entrambi i termini per -2. Avremo:
(-2) · 4 > 3 · (-2)
- 8 > - 6.
Come possiamo notare questa diseguaglianza non è vera, mentre è vera quella di segno contrario, cioè:
- 8 < - 6
Per un ripasso sul confronto di numeri relativi si veda l'apposita lezione.
Un discorso del tutto analogo si ha nel caso della DIVISIONE:
- se DIVIDIAMO entrambi i termini di una disequazione per un NUMERO POSITIVO, otteniamo una DISEQUAZIONE EQUIVALENTE a quella data;
- se DIVIDIAMO entrambi i termini di una disequazione per un NUMERO NEGATIVO, otteniamo una DISEQUAZIONE EQUIVALENTE a quella data CAMBIANDO il VERSO della disequazione.
