RISOLVERE DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO E COSTANTE
- Disequazioni con valore assoluto
- Disequazioni con valore assoluto e una costante
- Disequazioni con valore assoluto e una costante
Nelle lezioni dedicate alla risoluzione delle DISEQUAZIONI con VALORE ASSOLUTO, abbiamo visto come possiamo risolvere le disequazioni che hanno, un valore assoluto a primo membro e una costante a secondo membro:
|A(x)| ≤ k
oppure
|A(x)| ≥ k.
In questo approfondimento andremo a vedere che, il metodo da noi seguito nelle lezioni non è l'unico possibile per risolvere disequazioni di questo tipo.
Quanto diremo in seguito vale SOLAMENTE nei casi in cui
k > 0.
Partiamo dalla prima disequazione
|A(x)| ≤ k
con
k > 0.
Nella lezione dedicata a queste disequazioni abbiamo appreso che essa ha come soluzioni
- k ≤ A(x) ≤ k.
Sempre in quella occasione abbiamo visto che, per risolvere questa disequazione, andiamo a risolvere separatamente:
A(x) ≥ - k
A(x) ≤ k
e successivamente andiamo a prendere i valori di x compresi tra -k e k.
Esempio:
|2x - 2 | < 4.
Il verso della disequazione è minore, e k è un numero positivo, 4, quindi andiamo a risolvere così come abbiamo appreso
- 4 < 2x - 2 < 4.
Risolviamo separatamente le due disequazioni:
2x - 2 > - 4
2x - 2 < 4.
Risolviamo la prima
2x - 2 > -4
2x > - 4 + 2
2x > - 2
x > -2/2
x > - 1.
Passiamo alla seconda
2x - 2 < 4
2x < 4 + 2
2x < 6
x < 6/2
x < 3.
La soluzione cercata è:
-1 < x < 3.
Quello che abbiamo visto non è, però, l'unico modo in cui si può procedere per la soluzione di disequazioni di questo tipo.
Vediamo, di seguito, alcuni metodi alternativi.
2° metodo.
Risolvere la disequazione nel modo che vi abbiamo mostrato, equivale a risolvere il seguente sistema:
Questo perché andiamo a cercare i valori interni ad un intervallo, quindi i valori delle x che soddisfano contemporaneamente entrambe le disequazioni.
Nel nostro esempio, sarebbe stato:
da cui si ottiene (ovviamente saltiamo i calcoli che abbiamo appena fatto):
che graficamente equivale a dire
E' chiaro che la soluzione del sistema è
-1 < x < 3.
3° metodo.
Altro metodo per risolvere la disequazione di partenza è il seguente. Partiamo dalla nostra disequazione
|2x - 2 | < 4.
Scriviamo la soluzione
-4 < 2x - 2 < 4.
Sommiamo a tutti e tre i membri il valore +2 in modo da eliminare il termine noto nell'espressione centrale:
-4 + 2 < 2x - 2 + 2 < 4 + 2
-2 < 2x < 6.
Dividiamo tutti e tre i membri per 2 in modo da eliminare il coefficiente dell'incognita nell'espressione centrale:
-2/2 < (2x)/2 < 6/2
1 < x < 3.
4° metodo.
Ma non è finita qui: abbiamo ancora un metodo a nostra disposizione.
A primo membro abbiamo sicuramente un valore positivo, trattandosi di un valore assoluto. A secondo membro abbiamo anche un valore positivo, dato che abbiamo detto che stiamo esaminando i casi nei quali
k > 0.
Essendo primo e secondo membro della disequazione due valori positivi, possiamo andarli ad elevare al quadrato senza problemi, in modo da ottenere:
( |A(x)| )2 ≤ k2.
Dallo studio delle proprietà dei valori assoluti, sappiamo che il quadrato del valore assoluto di un numero è uguale al quadrato del numero stesso. Quindi la nostra disequazione diventa:
[A(x)]2 ≤ k2.
A questo punto non resta che risolvere.
Tornando al nostro esempio, avremo:
|2x - 2 | < 4
( |2x - 2 | )2 < 42
(2x - 2)2 < 42
4x2 + 4 - 8x < 16
4x2 - 8x + 4 - 16 < 0
4x2 - 8x - 12 < 0
Poiché il delta è maggiore di zero, e il coefficiente del primo termine e il verso della disequazione sono discordi, le soluzioni sono date dai valori interni, ovvero
1 < x < 3.
Abbiamo ottenuto, ancora una volta, lo stesso risultato usando un altro procedimento.
Passiamo all'esame delle disequazioni del tipo
|A(x)| ≥ k.
con
k > 0.
Nella lezione dedicata a queste disequazioni abbiamo appreso che esse hanno come soluzioni
A(x) ≤ - k ˅ A(x) ≥ k.
Per risolvere questo tipo di disequazioni, quindi, andiamo a risolvere separatamente:
A(x) ≤ - k
A(x) ≥ k
e andiamo a prendere i valori di x minori di -k e maggiori di k.
Esempio:
|3x + 9 | > 6.
Il verso della disequazione è maggiore, e k è un numero positivo, 6, quindi andiamo a risolvere così come abbiamo appena visto
3x + 9 < - 6
3x + 9 > 6.
Risolviamo separatamente le due disequazioni:
3x + 9 < - 6
3x < - 6 - 9
3x < -15
x < -15/3
x < - 5.
Passiamo alla seconda
3x + 9 > 6
3x > 6 - 9
3x > - 3
x > -3/3
x > - 1.
La soluzione cercata è:
x < - 5 ˅ x > - 1.
Anche in questo caso potremmo utilizzare il metodo che, nell'esempio precedente abbiamo individuato con il numero 3, anche se appare meno utile, ovvero potremmo scrivere
3x + 9 < - 6 ˅ 3x + 9 > 6
Eliminiamo il termine noto al primo membro delle nostre disequazioni sommando ad ambo i membri il valore -9:
3x + 9 - 9 < - 6 - 9 ˅ 3x + 9 - 9 > 6 - 9
3x < - 15 ˅ 3x > -3
Dividiamo tutto per il coefficiente della x, ovvero per 3:
3x/3 < - 15/3 ˅ 3x/3 > - 3/3
x < - 5 ˅ x > - 1.
Questo risultato può essere ottenuto anche elevando il primo e il secondo membro al quadrato, infatti, al primo membro abbiamo sicuramente un valore positivo, trattandosi di un valore assoluto, e anche a secondo membro abbiamo un valore positivo, dato che abbiamo detto che stiamo esaminando i casi nei quali
k > 0.
Quindi si potrà risolvere ponendo
( |A(x)| )2 ≥ k2
che equivale a scrivere:
[A(x)]2 ≥ k2.
Tornando al nostro esempio, avremo:
|3x + 9 | > 6
( |3x + 9 | )2 > 62
(3x + 9)2 > 36
9x2 + 54x + 81 > 36
9x2 + 54x + 81 - 36 > 0
9x2 + 54x + 45 > 0
Poiché il delta è maggiore di zero, e il coefficiente del primo termine e il verso della disequazione sono concordi, le soluzioni sono date dai valori esterni, ovvero
x < - 5 ˅ x > - 1.
Facciamo ora una precisazione relativa al caso in cui la disequazione sia del tipo
|A(x)| ≤ k
con
k > 0
In questo caso NON possiamo risolvere la disequazione usando il SISTEMA. Infatti, risolvere un sistema significa cercare le soluzioni che soddisfano tutte le disequazioni scritte, mentre nel caso da noi esaminato stiamo cercando le soluzioni che soddisfano una disequazione o l'altra.
