DISEGNARE UN'ELLISSE
- L'ellisse
- Elementi dell'ellisse
- Equazione dell'ellisse con centro nell'origine e fuochi sull'asse delle x
- Equazione dell'ellisse con centro nell'origine e fuochi sull'asse delle y
- Coordinate di due punti simmetrici rispetto all'asse delle ordinate
- Coordinate di due punti simmetrici rispetto all'asse delle ascisse
- Il segmento
- Retta parallela all'asse delle x
- Retta parallela all'asse delle y
- Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
Iniziamo a vedere come possiamo risolvere alcuni problemi relativi alle ELLISSI.
Partiamo dal caso in cui, data l'EQUAZIONE dell'ELLISSE, ci venga chiesto di disegnarla.
Esempio:
disegnare l'ellisse di equazione
Per disegnare l'ellisse occorre determinare i suoi VERTICI.
Per stabilire quali sono i vertici possiamo seguire due metodi.
Il primo è basato su un ragionamento. Osserviamo i valori di a e di b. Poiché
a2 = 16
b2 = 9
avremo
a = 4
b = 3.
Essendo
a > b
l'ellisse ha i fuochi sull'asse delle x ed è del tipo:
L'asse maggiore è il segmento che congiunge i vertici V4 e V3. Esso sappiamo che misura 2a. Il semiasse OV3 è lungo a. Quindi il punto V3 ha come ascissa a, mentre l'ordinata è zero. Quindi:
V3 (4; 0).
Di conseguenza, il punto V4 avrà come coordinate
V4 (-4; 0).
L'asse minore è il segmento che congiunge i vertici V1 e V2. Esso sappiamo che misura 2b. Il semiasse OV1 è lungo b. Quindi il punto V1 ha come ordinata b, mentre l'ascissa è zero. Quindi:
V1 (0; 3).
Di conseguenza, il punto V2 avrà come coordinate
V2 (0; -3).
Il secondo metodo che possiamo usare per trovare le coordinate dei vertici si basa sul fatto che i vertici rappresentano i PUNTI DI INTERSEZIONE DELL'ELLISSE CON GLI ASSI CARTESIANI.
Quindi possiamo impostare due sistemi di due equazioni
- il primo con l'equazione dell'ellisse e l'equazione dell'asse delle ascisse (y = 0) che ci permette di trovare le intersezioni con l'asse delle x. In altre parole ci permette di trovare le coordinate di V3 e V4;
- il secondo con l'equazione dell'ellisse e l'equazione dell'asse delle ordinate (x = 0) che ci permette di trovare le intersezioni con l'asse delle y. In altre parole ci permette di trovare le coordinate di V1 e V2.
Nel nostro caso si tratta di impostare i seguenti sistemi:
Da cui, risolvendo, avremmo ottenuto:
Dal primo sistema troviamo le coordinate dei vertici che rappresentano i punti di intersezione dell'ellisse con l'asse delle x. Ovvero:
V3 (4; 0)
V4 (-4; 0)
Dal secondo sistema troviamo le coordinate dei vertici che rappresentano i punti di intersezione dell'ellisse con l'asse delle y. Ovvero:
V1 (0; 3)
V2 (0; -3).
Come possiamo notare il risultato al quale siamo, applicando i due diversi metodi, è lo stesso.
Ora disegniamo i vertici dell'ellisse:
A questo punto è sufficiente disegnare una curva chiusa che unisca i vertici:
Abbiamo così disegnato la nostra ellisse.
