FUOCHI E SEMIASSI DI UN'ELLISSE
- L'ellisse
- Elementi dell'ellisse
- Equazione dell'ellisse con centro nell'origine e fuochi sull'asse delle x
- Equazione dell'ellisse con centro nell'origine e fuochi sull'asse delle y
- Asse minore dell'ellisse
- Asse minore dell'ellisse
Vediamo ora come risolvere quei problemi nei quali conosciamo l'equazione dell'ellisse e vogliamo determinare i suoi FUOCHI, il SEMIASSE MAGGIORE e il SEMIASSE MINORE.
Esempio 1:
data l'ellisse di equazione
vogliamo determinare le coordinate dei fuochi e la misura del semiasse maggiore e minore.
Partiamo dai fuochi. Per poterne determinare le coordinate ci serve il valore di c.
Ma la relazione che lega c ad a e b varia a seconda che i fuochi si trovino sull'asse delle ascisse o su quello delle ordinate.
Ora, essendo
a2 = 16
b2 = 9
è evidente che
a > b
quindi i fuochi si trovano sull'asse delle x.
A questo punto noi sappiamo che
a2 - c2 = b2.
da cui ricaviamo
-c2 = b2- a2
c2 = a2 -b2.
Sostituendo i valori di a2 e di b2 avremo:
c2 = 16 - 9
c2 = 7
c = ±2,65.
Quindi i due fuochi hanno coordinate:
F1 (2,65; 0)
F2 (-2,65; 0).
L'asse maggiore sappiamo essere uguale a 2a. Quindi:
a = 4
2a = 8.
L'asse minore sappiamo essere uguale a 2b. Quindi:
b = 3
2b = 6.
Vediamo un'altro esempio.
Esempio 2:
data l'ellisse di equazione
vogliamo determinare le coordinate dei fuochi e la misura del semiasse maggiore e minore.
Partiamo dai fuochi. Iniziamo col capire se essi sono situati sull'asse delle ascisse o su quello delle ordinate.
Dato che
b > a
i fuochi si trovano sull'asse delle y.
A questo punto noi sappiamo che
b2 - c2 = a2.
da cui ricaviamo
-c2 = a2- b2
c2 = b2 - a2.
Sostituendo i valori di a2 e di b2 avremo:
c2 = 25 - 4
c2 = 21
c = ±4,58.
Quindi i due fuochi hanno coordinate:
F1 (0; 4,58)
F2 (0; -4,58).
L'asse maggiore sappiamo essere uguale a 2b. Quindi:
b = 5
2b = 10.
L'asse minore sappiamo essere uguale a 2a. Quindi:
a = 2
2a = 4.
