EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA CONOSCENDO DUE PUNTI E CON CENTRO SU UNA RETTA DATA
- Equazione della circonferenza
- Equazione della circonferenza: alcune considerazioni
- Equazione della circonferenza dati il centro e il raggio
- Calcolare il raggio e il centro della circonferenza
- Equazione della circonferenza dati il centro e un punto
- Equazione della circonferenza passante per tre punti
- Equazione della retta
- Equazione della retta: forma esplicita e forma implicita
- Sistemi di tre equazioni in tre incognite
- Metodo di sostituzione: sistemi di tre equazioni in tre incognite
In questa lezione vogliamo capire come possiamo risolvere problemi nei quali ci viene chiesto di scrivere l'EQUAZIONE della CIRCONFERENZA:
- conoscendo DUE PUNTI per i quali essa passa;
- sapendo che il CENTRO si trova su una RETTA di cui conosciamo l'equazione.
Immaginiamo che la nostra circonferenza passi per i punti
P1 (x1; y1)
P2 (x2; y2)
e che il centro si trovi sulla retta di equazione
ax + by + c = 0.
Come sappiamo l'equazione della circonferenza è
x2 + y2 + ax + by + c = 0.
Per poterla scrivere noi dobbiamo conoscere il valore dei parametri a, b e c.
Quando la nostra circonferenza passa per il punto P1 essa assume i seguenti valori:
x12 + y12 + ax1 + by1 + c = 0.
Quando la nostra circonferenza passa per il punto P2 essa assume i seguenti valori:
x22 + y22 + ax2 + by2 + c = 0.
Ora dobbiamo scrivere una terza equazione da poter mettere a sistema con le altre due per trovare i valori di a, b e c.
Essa la otteniamo sapendo che il centro si trova sulla retta
ax + by + c = 0.
Infatti, il centro ha coordinate C(α ; β).
Ma noi abbiamo visto, in una precedente lezione che,
-2α = a
-2β = b
in altre parole, quindi
2α = -a
α = -1/2a
2β = -b
β = -b/2.
Quindi possiamo dire che il centro ha coordinate C(-a/2 ; -b/2).
Quando la retta passa per il punto C essa avrà equazione:
a · (-a/2) + b · (-b/2) + c = 0.
A questo punto si tratterà di mettere a sistema le tre equazioni e trovare i valori di a, b e c in modo da sostituirli all'equazione generale della circonferenza.
Vediamo un caso pratico.
Esempio:
scrivere l'equazione della circonferenza passante per i punti A(1; 2) e B(3; 5), sapendo che il centro C si trova sulla retta x - 2 y + 3 = 0.
Partiamo dall'equazione della circonferenza
x2 + y2 + ax + by + c = 0.
Quando la nostra circonferenza passa per il punto A essa assume i seguenti valori:
12 + 22 + a + 2b + c = 0
1 + 4 + a + 2b + c = 0
a + 2b + c + 5 = 0.
Quando la nostra circonferenza passa per il punto B essa assume i seguenti valori:
32 + 52 + 3a + 5b + c = 0
9 + 25 + 3a + 5b + c = 0
3a + 5b + c + 34 = 0.
Noi sappiamo che il centro ha coordinate
C(-a/2; -b/2).
E che esso si trova sulla retta di equazione
x - 2y + 3 = 0.
Quando questa retta passa per il punto C avrà coordinate
-a/2 - 2 · (-b/2) + 3 = 0
-a/2 + b + 3 = 0.
Ora poniamo a sistema le tre equazioni:
Lasciamo a voi la soluzione di questo sistema. Vi diciamo che i valori cercati sono:
a = 28/5
b = - 67/5
c = 81/5.
Quindi, l'equazione della nostra circonferenza è:
x2 + y2 + (28/5) x + (-67/5) y + 81/5 = 0.
