EQUAZIONI RECIPROCHE DI SECONDA SPECIE DI SESTO GRADO
- Equazioni reciproche
- Equazioni reciproche di prima specie di quarto grado
- Equazioni reciproche di prima specie di terzo grado
- Equazioni reciproche di prima specie di quinto grado
- Equazioni reciproche di seconda specie di quarto grado
- Equazioni di primo grado ad una incognita
- Equazioni di secondo grado ad una incognita
- Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete
- Equazioni spurie
- Divisibilità del polinomio P(x) per il binomio (x+a)
- Regola di Ruffini
- Divisione
Come abbiamo detto nella lezione precedente le EQUAZIONI RECIPROCHE di SECONDA SPECIE sono quelle nelle quali i COEFFICIENTI DEI TERMINI ESTREMI e di quelli EQUIDISTANTI dagli estremi sono OPPOSTI.
Nella stessa lezione, abbiamo visto che, nel caso in cui tali equazioni, sono di GRADO PARI, deve MANCARE IL TERMINE EQUIDISTANTE DAGLI ESTREMI.
Inoltre abbiamo appreso che, per quanto riguarda le EQUAZIONI RECIPROCHE di SECONDA SPECIE di GRADO PARI siamo in grado di risolverle FINO AL SESTO GRADO.
Sempre nella lezione precedente abbiamo appreso come si risolvono le equazioni reciproche di seconda specie di quarto grado. Ora vediamo come procedere alla risoluzione delle EQUAZIONI RECIPROCHE di SECONDA SPECIE di SESTO GRADO.
Esse si presentano nel modo seguente:
ax6 + bx5 + cx4- cx2 - bx - a = 0.
Come possiamo notare manca il termine equidistante dagli estremi (x3).
Intuitivamente possiamo affermare che l'equazione ammette come radici
x = 1
e
x = -1.
Iniziamo a vedere, infatti, che il polinomio si annulla se
x = 1.
ax6 + bx5 + cx4- cx2 - bx - a = 0
a(1)6 + b(1)5 +c(1)4 - c (1)2 - b(1)- a = 0
a + b + c - c - b - a = 0.
Questo significa che la nostra equazione è divisibile per il binomio (x - 1).
Ora osserviamo che il polinomio si annulla anche se
x = - 1.
ax6 + bx5 + cx4- cx2 - bx - a = 0
a(-1)6 + b(-1)5 +c(-1)4 - c (-1)2 - b(-1) - a = 0
a(1) + b(-1)+c(1)- c (+1) - b(-1) - a = 0
a - b + c - c + b - a = 0.
Questo significa che la nostra equazione è divisibile anche per il binomio
x + 1.
Quindi, applicando la regola di Ruffini, possiamo dividere il polinomio dato prima per (x-1) e poi per (x+1).
Procedendo in questo modo otterremo come quoziente una equazione reciproca di prima specie di quarto grado che chiameremo Q(x).
Pertanto per risolvere l'equazione di partenza è sufficiente risolvere l'equazione:
(x+1) (x -1) Q(x) = 0.
Per la legge di annullamento del prodotto se un prodotto è zero, almeno uno dei suoi fattori è zero.
Quindi si tratterà di risolvere tre equazioni:
x+1 = 0 che è un'equazione lineare la cui soluzione è x = -1
x-1 = 0 che è anch'essa un'equazione lineare la cui soluzione è x = +1
e
Q(x) = 0 che è un'equazione reciproca di prima specie di quarto grado.
Esempio:
2x6 +5x5 +2x4 -2x2 -5x-2= 0.
Per prima cosa osserviamo che ci troviamo di fronte ad un'equazione reciproca di seconda specie:
2x6 +5x5 +2x4 -2x2 -5x-2 = 0.
Inoltre manca il termine equidistante dagli estremi (x3).
Iniziamo col dividere l'equazione per x + 1 applicando la regola di Ruffini:
(2x6 +5x5 +2x4 -2x2 -5x-2): (x+1).
Nel nostro esempio il dividendo non è un polinomio completo, infatti manca il termine x3: in questo caso bisogna ricordarsi di scrivere, al posto del coefficiente mancante, nella prima riga della tabella, uno ZERO.
Quindi possiamo scrivere:
(2x6 +5x5 +2x4 -2x2 -5x-2): (x+1) =
= 2x5 +3x4-x3+x2 -3x -2.
Ora dividiamo il quoziente ottenuto per (x-1). Ovvero:
(2x5 +3x4-x3+x2 -3x -2): (x-1).
Quindi possiamo scrivere:
(2x5 +3x4-x3+x2 -3x -2) : (x-1) =
= 2x4+5x3+4x2 +5x +2.
Di conseguenza la nostra equazione può essere scritta come:
(x+1) (x-1) (2x4+5x3+4x2 +5x +2) = 0.
Risolviamo e abbiamo:
x+1 = 0
x = -1
x - 1 = 0
x = 1
2x4+5x3+4x2 +5x +2 = 0
Risolviamo come le Equazioni reciproche di prima specie di quarto grado.
Dividiamo per x2:
2x4/x2+5x3/x2+4x2/x2 +5x/x2 +2/x2 = 0
2x2+5x+4 +5/x +2/x2 = 0.
Effettuiamo un raccoglimento a fattore comune parziale di 2 e 5:
2(x2+ 1/x2) + 5(x+ 1/x) + 4= 0.
Sostituiamo (x2+ 1/x2) con (x + 1/x)2 - 2:
2[(x+ 1/x)2 - 2] + 5(x+ 1/x) + 4 = 0
2(x+ 1/x)2 - 4 + 5(x+ 1/x) + 4 = 0
2(x+ 1/x)2 + 5(x+ 1/x) + 4 - 4 = 0
2(x+ 1/x)2 + 5(x+ 1/x)= 0.
Poniamo
t = x + 1/x
e avremo:
2t2 + 5t= 0.
Quella che abbiamo è un'equazione di secondo grado spuria.
Mettiamo in evidenza la t:
t (2t + 5)= 0.
Da cui:
t = 0
2t = -5 cioè t = -5/2.
Ora ricordiamo che:
t = x + 1/x
e sostituiamo la prima:
x + 1/x = 0
E' evidente che è impossibile trovare un valore di x che elevato al quadrato dà un risultato negativo (-1).
Ora sostituiamo la seconda:
x + 1/x = -5/2
Le soluzioni della nostra equazione, quindi, sono:
x = -1
x = +1
x = -2
x = -1/2.
