DIVISIBILITA' DEL POLINOMIO P(x) PER IL BINOMIO (x+a)
Nella
lezione precedente abbiamo visto come condizione necessaria e sufficiente affinché un POLINOMIO
INTERO in x, P(x)
sia divisibile per il binomio (x-a)
è che il POLINOMIO si ANNULLI
quando ad x si SOSTITUISCE
a.
Vediamo ora quando un polinomio
P(x)
è divisibile per il binomio
(x + a).
La nostra divisione è riconducibile al caso precedente scrivendo il binomio nella forma seguente:
x - (-a).
Quindi avremo:
P(x)=
[x - (-a)] Q(x) + R.
Se nel dividendo sostituiamo alla lettera x il valore -a. Avremo:
P(-a)
= (-a + a) Q(-a) + R.
Ovviamente
(-a +a) = 0
e quindi:
(-a
+ a) Q(-a) = 0.
Pertanto se sostituiamo alla x il valore -a, avremo:
P(-a) = 0 + R = R.
Quindi:
P(-a)
= R.
Pertanto
possiamo dire che il RESTO della DIVISIONE
di un POLINOMIO INTERO in x, P(x),
per il BINOMIO (x
+ a) è il valore che assume il
polinomio stesso quando SOSTITUIAMO
alla lettera x
il numero -a.
In modo analogo a quanto detto nella precedente lezione si nota che, se P(x) è divisibile per (x+a), il RESTO della divisione sarà ZERO. Cioè
R = 0.
Quindi, poiché
P(-a) = R
avremo che
P(-a)
= 0.
Viceversa se
P(-a) = 0
avremo senz'altro che
R = 0.
Di
conseguenza P(x) è divisibile
per (x+a).
Quindi possiamo dire che condizione necessaria e sufficiente affinché un POLINOMIO INTERO in x, P(x) sia divisibile per il binomio (x+a) è che il POLINOMIO si ANNULLI quando ad x si SOSTITUISCE -a.
Esempio:
(3x3 +9x2 -5x -15) : (x+3).
Senza eseguire la divisione vogliamo sapere se i due polinomi sono divisibili tra loro.
Poniamo:
P(-3)
=3·(-3)3
+9·(-3)2
-5·(-3)
-15 = -81 +81 +15 -15= 0.
I due polinomi sono divisibili tra loro.
