PARTICOLARI EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
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Dopo aver visto, nella precedente lezione, quali sono i diversi tipi di EQUAZIONI GONIOMETRICHE PARTICOLARI, in questa lezione inizieremo a vedere come si risolve il primo gruppo di queste equazioni, ovvero quelle nelle quali compare, sia a primo membro che a secondo membro, la STESSA FUNZIONE GONIOMETRICA, mentre è DIVERSO l'ANGOLO.
Le equazioni di cui stiamo parlando sono le seguenti:
sen α = sen α'
cos α = cos α'
tan α = tan α'
Partiamo dalla prima di queste equazioni:
sen α = sen α'
Chiediamoci quando due ANGOLI DIVERSI hanno lo STESSO SENO.
Ciò avviene solamente in due casi:
- prima di tutto, ovviamente, quando i due angoli sono CONGRUENTI, ovvero
quando
α = α'
- in secondo luogo quando i due angoli sono SUPPLEMENTARI, ovvero
quando
α + α' = π
Tenendo conto della PERIODICITA' della funzione seno possiamo scrivere che la soluzione della nostra equazione è:
α = α' + 2kπ
∨
α + α' = π + 2kπ.
Esempio:
Le due soluzioni sono:
Risolviamo la prima:
Risolviamo la seconda:
Le soluzioni dell'equazione sono:
Passiamo alla seconda equazione:
cos α = cos α'
In quetso caso dobbiamo chiederci quando due ANGOLI DIVERSI hanno lo STESSO COSENO.
Sappiamo che ciò avviene solamente in due casi:
- il primo caso è, ovviamente, quello nel quale i due angoli sono CONGRUENTI,
ovvero
quando
α = α'
- il secondo caso è quando i due angoli sono OPPOSTI, ovvero
quando
α = - α'
Tenendo conto della PERIODICITA' della funzione coseno possiamo scrivere che la soluzione della nostra equazione è:
α = α' + 2kπ
∨
α = - α' + 2kπ
che possiamo sintetizzare scrivendo;
α = ± α' + 2kπ
Esempio:
da cui otteniamo due soluzioni:
Risolviamo la prima:
Risolviamo la seconda:
Le soluzioni dell'equazione sono:
Vediamo l'ultima equazione di questo gruppo:
tan α = tan α'
Come sempre ci andiamo a chiedere quando due ANGOLI DIVERSI hanno la STESSA TANGENTE.
Ciò avviene solamente quando i due angoli sono CONGRUENTI, ovvero quando
α = α'.
Tenendo conto della PERIODICITA' della funzione tangente possiamo scrivere che la soluzione della nostra equazione è:
α = α' + kπ
Esempio:
La soluzione la si ottiene ponendo:
da cui risolvendo si avrà:
Forse vi starete chiedendo come mai non abbiamo compreso, in questo gruppo di equazioni, anche quella con la COTANGENTE, ovvero l'equazione
cotan α = cotan α'
Il motivo è che questa equazione viene ricondotta ad un'equazione del tipo:
tan α = tan α'
In che modo? Ricordando la proprietà degli ANGOLI COMPLEMENTARI secondo la quale
cotan α = tan (π/2 - α)
Di conseguenza, la nostra equazione, diventa:
tan (π/2 - α) = tan (π/2 - α')
