PARTICOLARI EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
- Particolari equazioni goniometriche elementari
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Concludiamo l'esame delle PARTICOLARI EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI, parlando dell'ultimo gruppo di equazioni goniometriche, ovvero:
sen α = cos α'
sen α = - cos α'
Partiamo dalla prima di queste equazioni:
sen α = cos α'
Dallo studio degli ANGOLI COMPLEMENTARI abbiamo appreso che
cos α' = sen (π/2 - α')
Di conseguenza, l'equazione:
sen α = cos α'
può essere scritta come:
sen α = sen (π/2 - α')
che può essere risolta nei modi visti nelle precedenti lezioni.
Esempio:
sen (4x + 100°) = cos (23° - 5x).
Notiamo, innanzitutto, che in questa equazione non compaiono i radianti come in quelle sin qui viste, bensì i GRADI SESSADECIMALI. Di conseguenza, nelle formule, dovremo sostituire sempre ai radianti i relativi gradi: quindi al posto di π/2 metteremo 90°, al posto di π metteremo 180° e al posto di 2π metteremo 360°.
Iniziamo scrivendo il secondo membro della nostra equazione nel modo seguente:
cos (23° - 5x) = sen (90° - 23° + 5x)
e sommando avremo:
cos (23° - 5x) = sen (67° + 5x)
Ora sostituiamo nell'equazione di partenza:
sen (4x + 100°) = sen (67° - 5x).
Da qui, le soluzioni sono:
- 4x + 100° = 67° + 5x + k·360° →
-x = -33° + k·360° → x = 33° + k·360°
- 4x + 100° +67° +5x = 180° + k·360° → 9x = 13° + k·360° → x = 13°/9 + k·40°
Quindi il risultato della nostra equazione è:
x = 33° + k·360° ∨ x = 13°/9 + k·40°
Passiamo alla seconda delle nostre equazioni:
sen α = - cos α'
Abbiamo appena visto che il coseno di un angolo può essere scritto:
cos α' = sen (π/2 - α').
Di conseguenza, la nostra equazione, può essere scritta:
sen α = - sen (π/2 - α')
Ma nella lezione precedente, abbiamo visto che essa equivale a risolvere:
sen α = sen (-π/2 + α').
Esempio:
sen 3x = - cos 4x.
Iniziamo scrivendo il secondo membro della nostra equazione nel modo seguente:
cos 4x = sen (π/2 - 4x)
Ora sostituiamo nell'equazione di partenza e abbiamo:
sen 3x = - sen (π/2 - 4x)
che diventa:
sen 3x = sen (-π/2 + 4x)
Da qui, le soluzioni sono:
- 3x = - π/2 + 4x + 2k·π →
3x - 4x = -π/2 + 2k·π → -x = -π/2 + 2k·π
→ x = π/2 + 2kπ
Come si è già detto nelle precedenti lezioni non c'è bisogno di cambiare il segno anche a 2kπ
- 3x - π/2 + 4x = π + 2k·π → 7x = π + π/2 + 2k·π → 7x = ((2π + π)/ 2 + 2kπ → 7x = 3π/2 + 2kπ → x = 3π/14 + 2kπ/7
Quindi il risultato della nostra equazione è:
x = π/2° + 2k·π ∨ x = 3π/14 + 2kπ/7
