DISEQUAZIONI LOGA CON UN LOGARITMO AD UN MEMBRO ED UNA COSTANTE ALL'ALTRO MEMBRO
- I logaritmi: definizione
- Logaritmi: casi particolari
- Teoremi sui logaritmi: teorema della potenza di un logaritmo
- Disequazioni logaritmiche
- Risoluzione di disequazioni logaritmiche
- Disequazioni logaritmiche con due logaritmi aventi la stessa base
- Disequazioni logaritmiche risolvibili mediante i teoremi sui logaritmi
- Disequazioni logaritmiche con un logaritmo ad un membro e lo zero all'altro membro
- Disequazioni logaritmiche risolvibili mediante sostituzione
- Disequazioni logaritmiche risolvibili con il metodo grafico
Proseguiamo l'esame delle DISEQUAZIONI LOGARITMICHE parlando di quelle disequazioni nelle quali compaiono:
- un logaritmo a primo membro;
- una costante a secondo membro.
Esse si presentano nella forma
loga f(x) ≥ k
oppure
loga f(x) ≤ k
con
k
costante.
Come abbiamo detto più volte:
- al posto del segno ≥ possiamo trovare anche soltanto il segno di >;
- così come al posto del segno ≤ possiamo trovare anche soltanto il segno di <.
Come al solito, andiamo ad esaminare la prima delle due disequazioni scritte: il modo di procedere sarò lo stesso anche per la seconda disequazione.
La prima cosa da fare è porre la condizione che l'ARGOMENTO del LOGARITMO sia MAGGIORE DI ZERO. Ovvero:
f(x) > 0.
Poi notiamo che scrivere
loga f(x) ≥ k
equivale a scrivere
loga f(x) ≥ k · 1.
loga a = 1.
Quindi, nella disequazione possiamo scrivere 1 sotto forma di logaritmo, in altre parole possiamo scrivere:
loga f(x) ≥ k · loga a.
Applicando il TEOREMA della POTENZA di un LOGARITMO, la disequazione diventa:
loga f(x) ≥ loga ak.
A questo punto abbiamo ricondotto la nostra disequazione ad una forma da noi già vista, con un logaritmo a primo membro ed un logaritmo, avente la stessa base, a secondo membro.
Andremo quindi a risolvere nei modi appresi nelle precedenti lezioni.
Esempio:
log3 (4x + 8) ≥ 1.
La nostra disequazione può essere scritta nella forma
log3 (4x + 8) ≥ 1 · log3 3.
ovvero
log3 (4x + 8) ≥ log3 31
che equivale a
log3 (4x + 8) ≥ log3 3.
Scriviamo il sistema da risolvere:
Risolviamo e abbiamo:
Graficamente abbiamo:
Quindi la soluzione è data dalle
x ≥ -5/4.
