DISEQUAZIONI LOGARITMICHE RISOLVIBILI MEDIANTE SOSTITUZIONE
- I logaritmi: definizione
- Logaritmi: casi particolari
- Teoremi sui logaritmi: teorema della potenza di un logaritmo
- Disequazioni logaritmiche
- Risoluzione di disequazioni logaritmiche
- Disequazioni logaritmiche con due logaritmi aventi la stessa base
- Disequazioni logaritmiche risolvibili mediante i teoremi sui logaritmi
- Disequazioni logaritmiche con un logaritmo ad un membro e lo zero all'altro membro
- Disequazioni logaritmiche con un logaritmo ad un membro ed una costante all'altro membro
- Disequazioni logaritmiche risolvibili con il metodo grafico
Continuiamo a parlare di DISEQUAZIONI LOGARITMICHE esaminando quelle che sono risolvibili MEDIANTE SOSTITUZIONE.
Per quanto concerne la forma con la quale esse si presentano, diciamo che non sempre è la stessa. Un possibile modo in cui si presentano è
m· [loga f(x)]2 + n· loga f(x) + k ≥ 0
oppure
m· [loga f(x)]2 + n· loga f(x) + k ≤ 0.
A volte, però possono avere anche un altro aspetto: quando nella disequazione sono presenti logaritmi aventi lo STESSO ARGOMENTO potrebbe essere risolvibile con tale metodo.
Per risolverle dovremo, come sempre, porre la CONDIZIONE DI ESISTENZA, ovvero che tutti gli ARGOMENTI dei logaritmi presenti nella disequazione siano MAGGIORI DI ZERO.
Successivamente si risolverà la disequazione facendo ricorso ad un'INCOGNITA AUSILIARIA ad esempio z e ponendo
z = loga f(x).
in modo tale che l'equazione di partenza diventi:
m·z2 + n·z + k = 0.
A questo punto si tratterà di risolvere una normale disequazione di secondo grado.
Una volta ottenute le soluzioni esse andranno sostituite al posto di z in modo da ottenere i valori di x.
Come sempre, ovviamente, dovremo verificare che la soluzione ottenuta soddisfi le condizioni di esistenza: in genere lo facciamo direttamente ponendo a sistema la condizione di esistenza e la disequazione da risolvere, esattamente come abbiamo visto nelle lezioni precedenti.
Esempio 1:
Cominciamo col dire che la condizione di esistenza è
x > 0.
Ora poniamo
Otterremo:
z2 - z - 2 < 0.
Andiamo a risolvere:
La soluzione è data da
-1 < z < 2.
Ora, scrivere
-1 < z < 2
equivale a scrivere
z > -1 ≥ ˅ z < 2.
Ma poiché
la soluzione appena trovata può essere scritta come:
Dunque, il sistema da risolvere è:
Come possiamo notare la seconda e la terza disequazione sono rinconducibili al caso visto nella precedente lezione a cui rimandiamo per la spiegazione.
Andiamo a risolvere il sistema:
Graficamente:
La soluzione cercata è:
1/4 < x < 2.
Esempio 2:
Qui la disequazione non si presenta nella forma che abbiamo visto in precedenza, ma essa si risolve sempre con il metodo di sostituzione.
Cominciamo con la condizione di esistenza che è
x > 0.
Ora poniamo
Otterremo:
Andiamo a risolvere:
Numeratore:
2 - z > 0
-z > -2
z < 2.
Denominatore:
z - 1 > 0
z > 1 .
Studiamo il segno della frazione:
La soluzione cercata è
1 < z < 2.
Ora, scrivere
1 < z < 2
equivale a scrivere
z > 1 ≥ ˅ z < 2.
Ma poiché
la soluzione appena trovata può essere scritta come:
Dunque, il sistema da risolvere è:
Anche in questo caso la seconda e la terza disequazione si risolvono come abbiamo visto nella lezione precedente.
Andiamo a risolvere il sistema:
Graficamente:
La soluzione cercata è:
1/25 < x < 1/5.
