DISEQUAZIONI LOGARITMICHE RISOLVIBILI MEDIANTE I TEOREMI SUI LOGARITMI
- I logaritmi: definizione
- Funzione logaritmica
- Teoremi sui logaritmi: teorema sul rapporto di logaritmi
- Teoremi sui logaritmi: teorema sul prodotto di logaritmi
- Teoremi sui logaritmi: teorema sul prodotto di logaritmi
- Tabella delle proprietà e dei teoremi dei logaritmi
- Disequazioni logaritmiche
- Risoluzione di disequazioni logaritmiche
- Disequazioni logaritmiche con due logaritmi aventi la stessa base
- Disequazioni logaritmiche con un logaritmo ad un membro e lo zero all'altro membro
- Disequazioni logaritmiche con un logaritmo ad un membro ed una costante all'altro membro
- Disequazioni logaritmiche risolvibili mediante sostituzione
- Disequazioni logaritmiche risolvibili con il metodo grafico
In questa lezione andremo a vedere alcune DISEQUAZIONI LOGARITMICHE che possono essere ricondotte, mediante l'applicazione dei TEOREMI sui LOGARITMI, ad una delle forme viste nelle precedenti due lezioni, ovvero
loga f(x) ≥ loga g(x)
oppure
loga f(x) ≤ loga g(x).
Partiamo dal primo caso.
Immaginiamo di avere una disequazione del tipo:
loga f(x) - loga g(x) ≥ loga h(x)
oppure
loga f(x) - loga g(x) ≤ loga h(x).
Esaminiamo la prima delle due disequazioni scritte. Ovviamente le considerazioni che faremo varranno, di pari passo, anche per la seconda.
Per il TEOREMA sul RAPPORTO DI DUE LOGARITMI possiamo scrivere la disequazione:
loga f(x) - loga g(x) ≥ loga h(x)
nel modo seguente
loga [f(x)/ g(x)] ≥ loga h(x).
In questo modo abbiamo ricondotto la nostra disequazione ad una forma a noi nota.
ATTENZIONE però, alle condizioni di esistenza da porre!!!! Dovremo, infatti, porre come condizione che gli argomenti dei logaritmi presenti nella disequazione di partenza siano tutti maggiori di zero.
Esempio:
Applicando il teorema sul rapporto dei logaritmi scriviamo:
Quindi, il sistema che dobbiamo risolvere è il seguente:
Andiamo a risolvere:
Andiamo a risolvere l'ultima disequazione.
Studiamo il segno della frazione.
Numeratore:
24 - x > 0
-x > -24
x < 24.
Denominatore:
x - 5 > 0
x > 5.
Segno della frazione:
Soluzioni della disequazione:
x < 5 e x > 24.
Torniamo al nostro sistema:
Graficamente avremo:
La soluzione della disequazione logaritmica è
24 < x < 25.
Passiamo ad esaminare un secondo caso.
Immaginiamo di avere una disequazione del tipo:
loga f(x) + loga g(x) ≥ loga h(x)
oppure
loga f(x) + loga g(x) ≤ loga h(x).
Andiamo a guardare cosa accade con la prima delle due disequazioni scritte. Ovviamente le considerazioni che faremo varranno, di pari passo, anche per la seconda.
Per il TEOREMA sul PRODOTTO DI DUE LOGARITMI possiamo scrivere la disequazione:
loga f(x) + loga g(x) ≥ loga h(x)
nel modo seguente
loga [f(x) · g(x)] ≥ loga h(x).
In questo modo abbiamo ricondotto la nostra disequazione ad una forma a noi nota.
ATTENZIONE però, anche in questo caso, alle condizioni di esistenza da porre!!!! Dovremo, infatti, porre come condizione che gli argomenti dei logaritmi presenti nella disequazione di partenza siano tutti maggiori di zero.
Esempio:
Applicando il teorema sul prodotto dei logaritmi scriviamo:
Quindi, il sistema che dobbiamo risolvere è il seguente:
Andiamo a risolvere:
Andiamo a risolvere l'ultima disequazione
x2 - 2x - 1 < 0
La soluzione della disequazione è
Torniamo al nostro sistema:
Graficamente avremo:
La soluzione della disequazione logaritmica quindi è
Concludiamo prendendo in esame un ultimo caso. Una disequazione del tipo:
loga f(x) - loga g(x) ≥ loga h(x) + loga i(x)
oppure
loga f(x) - loga g(x) ≤ loga h(x) + loga i(x).
Soffermiamoci sulla prima.
Per quanto abbiamo detto sopra è evidente che essa potrà essere scritta nel modo seguente:
loga [f(x)/ g(x)] ≥ loga [h(x) · i(x)].
A questo punto andrà risolta come abbiamo visto in precedenza.
