FORMULA DI ADDIZIONE DELLA COTANGENTE
- Formule goniometriche
- Cotangente
- Formula di addizione del coseno
- Formula di addizione del seno
- Grafico della funzione seno
Passiamo ad esaminare la FORMULA di ADDIZIONE della COTANGENTE, cioè quella formula che ci permette di trovare la COTANGENTE della SOMMA degli angoli α e β.
Iniziamo con lo scrivere:
cotg (α + β)
Dallo studio della cotangente di un angolo abbiamo appreso che essa è il rapporto tra il coseno e il seno dell'angolo stesso, ovvero:
Andiamo a sostituire nella prima e scriviamo:
Affinché la frazione abbia significato è necessario che il suo denominatore sia diverso da zero: questo significa che dobbiamo porre la condizione che
sen (α + β) ≠ 0
Dalla osservazione del grafico della funzione del seno si nota che il seno di un angolo è uguale a 0 quando l'angolo è pari a 0, a π, a 2π, e così via. Questo significa che il seno di un angolo è uguale a zero ogni π radianti a partire da 0.
Di conseguenza, la condizione che dobbiamo porre è:
(α + β) ≠ kπ con k ∈ Z
Tornando alla nostra formula
possiamo notare che, a numeratore abbiamo il coseno della somma di due angoli, mentre a denominatore abbiamo il seno della somma di due angoli.
Poiché noi sappiamo che :
cos (α + β) = cos α · cos β - sen α · sen β
e che
sen (α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β
possiamo scrivere:
Ora dividiamo, numeratore e denominatore, per il prodotto tra sen α e sen β:
Per poter eseguire questa divisione dobbiamo porre come condizione che
sen α · sen β ≠ 0
cosa che si verifica quando:
sen α ≠ 0
e
sen β ≠ 0
Come abbiamo detto prima, il seno di un angolo è pari a zero quando l'angolo è pari a kπ.
Quindi, le condizioni da porre sono:
α ≠ kπ
e
β ≠ kπ
con k ∈ Z
Poste le opportune condizioni, possiamo scrivere la nostra uguaglianza nella forma seguente:
Laddove è possibile andiamo a semplificare:
Come abbiamo detto in precedenza, la cotangente di un angolo non è altro che il rapporto tra il coseno e il seno dell'angolo stesso. Quindi, andando a sostituire, la nostra formula diventa:
Quindi possiamo dire che la COTANGENTE della SOMMA di due ANGOLI è uguale al RAPPORTO che vede al numeratore il PRODOTTO delle COTANGENTI dei due angoli DIMINUITO di 1 e al denominatore la SOMMA delle COTANGENTI dei due angoli. Ovvero:
con
α + β ≠ kπ
α ≠ kπ
β ≠ kπ
Nella prossima lezione andremo a vedere la formula di sottrazione della cotangente.
