FORMULA DI TRIPLICAZIONE DEL COSENO
- Formula di addizione del coseno
- Formula di duplicazione del seno
- Formula di duplicazione del coseno
- Prima relazione fondamentale della goniometria
Dopo aver visto, nellalezione precedente la formula di triplicazione del seno, occupiamoci ora della FORMULA DI TRIPLICAZIONE DEL COSENO.
In maniera simile a ciò che abbiamo fatto con il seno, andiamo a scrivere:
cos 3α = cos (2α + α)
La FORMULA DI ADDIZIONE del COSENO ci dice che:
cos (α + β) = cos α · cos β - sen α · sen β
Andando a sostituire nella precedente otteniamo:
cos (2α + α) = cos 2α · cos α - sen 2α · sen α
A questo punto andiamo ad applicare la FORMULA DI DUPLICAZIONE del SENO, ovvero
sen 2α = 2 sen α · cos α
e quella di DUPLICAZIONE del COSENO, cioè:
cos 2α = cos2 α - sen2 α
Andiamo a sostituire, queste due formule, nella precedente e scriviamo:
cos (2α + α) = (cos2 α - sen2 α) · cos α - (2 sen α · cos α) · sen α
Eseguiamo i prodotti indicati:
cos (2α + α) = cos3 α - sen2 α · cos α - 2 sen 2 · cos α
Sommiamo i termini simili:
cos (2α + α) = cos3 α - 3 sen2 α · cos α
A questo punto ricordiamo che PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA ci dice che
sen2 α = 1 - cos2 α
Andiamo a sostituire nella precedente ed otteniamo:
cos (2α + α) = cos3 α - 3 · (1 - cos2 α) · cos α
da cui otteniamo:
cos (2α + α) = cos3 α - 3 cos α + 3 cos3 α = 4 cos3 α - 3 cos α
Quindi possiamo dire che la FORMULA DI TRIPLICAZIONE del COSENO è:
cos 3α = 4 cos3 α - 3 cos α
