FORMULA DI TRIPLICAZIONE DELLA TANGENTE
- Formula di addizione del seno
- Formula di addizione del coseno
- Formula di duplicazione del seno
- Formula di duplicazione del coseno
- Seconda relazione fondamentale della goniometria
Continuiamo a parlare delle formule di triplicazione ed occupiamoci ora della FORMULA DI TRIPLICAZIONE DELLA TANGENTE.
Come sempre, iniziamo scrivendo:
tan 3α = tan (2α + α)
Ora ricordando che la SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA ci dice che la TANGENTE di un angolo non è altro che il RAPPORTO tra il SENO e il COSENO di quell'angolo, possiamo scrivere:
Chiaramente, trattandosi di una frazione affinché essa abbia significato dobbiamo imporre che il suo denominatore sia diverso da zero. Quindi la condizione da porre è
cos (2α + α) ≠ 0
Il coseno di un angolo è uguale a zero quando l'angolo misura 90°, 270° e così via. Quindi la condizione da porre è
α ≠ (π/2) + kπ
con k ∈ Z
Andiamo ad applicare la FORMULA DI ADDIZIONE del SENO, ovvero:
sen (α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β
e la FORMULA DI ADDIZIONE del COSENO, ovvero
cos (α + β) = cos α · cos β - sen α · sen β
ed otteniamo:
Ora andiamo a sostituire la FORMULA DI DUPLICAZIONE del SENO, ovvero
sen 2α = 2 sen α · cos α
e la FORMULA DI DUPLICAZIONE del COSENO, cioè:
cos 2α = cos2 α - sen2 α
ed otteniamo:
Eseguiamo le moltiplicazioni ed abbiamo:
Sommiamo i termini simili
Ora dividiamo, numeratore e denominatore, per il cos3 α
Per poter eseguire la divisione, senza che la frazione perda di significato, occorre porre la condizione:
cos3 α ≠ 0
Abbiamo già visto in precedenza che il coseno di un angolo è uguale a zero quando l'angolo misura 90°, 270° e così via. Quindi la condizione da porre è
α ≠ (π/2) + kπ
con k ∈ Z
La nostra formula diventa:
Ora andiamo a semplificare:
Quindi possiamo dire che la FORMULA DI TRIPLICAZIONE della TANGENTE è:
posta la condizione
α ≠ (π/2) + kπ
con k ∈ Z
Per concludere diciamo che saremmo potuti arrivare alla stessa formula partendo da:
tan (2α + α)
e usando dapprima la formula di addizione della tangente e successivamente la formula di duplicazione della tangente: lasciamo a voi provare questo secondo metodo di dimostrazione.
