CARDINALITA' DEL PRODOTTO CARTESIANO
- Nozione di insieme
- Insiemi finiti e infiniti
- Insieme vuoto
- Cardinalità di un insieme finito
- Coppie ordinate
- Prodotto cartesiano di insiemi
Ricordiamo che si definisce CARDINALITA' di un INSIEME FINITO il NUMERO DI ELEMENTI dell'insieme.
Sappiamo che, dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama PRODOTTO CARTESIANO di A e B, l'insieme C formato da tutte le COPPIE ORDINATE tali che il primo elemento appartiene ad A ed il secondo elemento appartiene a B. Il che si scrive:
C = A x B
che si legge
C uguale A per B
Posto che i due insiemi A e B siano due INSIEMI FINITI, vogliamo chiederci qual è la CARDINALITA' dell'insieme AxB, cioè quanti sono gli elementi che compongono l'insieme AxB.
Facciamo qualche esempio:
- A = {a} 1 elemento
- B ={1} 1 elemento
- AxB = {(a, 1)} 1 elemento
- A = {a} 1 elemento
- B ={1, 2} 2 elementi
- AxB = {(a, 1), (a, 2)} 2 elementi
- A = {a, b} 2 elementi
- B ={1, 2} 2 elementi
- AxB = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)} 4 elementi
- A = {a, b} 2 elementi
- B ={1, 2, 3} 3 elementi
- AxB = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} 6 elementi
- A = {a, b, c} 3 elementi
- B ={1, 2, 3} 3 elementi
- AxB = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) (c, 1) (c, 2), c(c, 3)} 9 elementi
Ricapitolando:
| A | B | AxB |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 2 | 4 |
| 2 | 3 | 6 |
| 3 | 3 | 9 |
Notiamo che il NUMERO DI ELEMENTI del prodotto cartesiano AxB è uguale al PRODOTTO tra il NUMERO DI ELEMENTI di A e il NUMERO DI ELEMENTI di B.
Quindi possiamo dire che, se l'insieme A contiene m elementi e l'insieme B contiene n elementi, il prodotto cartesiano AxB contiene mn elementi. Quindi la sua CARDINALITA' è mn.
Allora se A e B sono due insiemi FINITI anche il loro PRODOTTO CARTESIANO è un insieme FINITO.
Invece, se uno dei due insiemi è INFINITO o lo sono entrambi, anche il loro PRODOTTO CARTESIANO è un insieme INFINITO.
