ESISTENZA E CALCOLO DELLE MATRICI INVERSE
- Matrice
- Matrice quadrata
- Matrice identità
- Matrici inverse
- Determinante di una matrice quadrata
- Proprietà del determinante di una matrice quadrata
- Matrice aggiunta
- Proprietà delle matrici aggiunte
- Moltiplicazione
In una precedente lezione abbiamo introdotto il concetto di MATRICE INVERSA e abbiamo detto che, data la MATRICE QUADRATA A, la sua MATRICE INVERSA è la matrice B tale che, se moltiplichiamo la matrice A per B o moltiplichiamo la matrice B per A otteniamo la MATRICE IDENTITA'.
Abbiamo, inoltre convenuto di indicare la MATRICE INVERSA di A con A-1.
Inoltre abbiamo detto che NON è detto che ESISTA SEMPRE la MATRICE INVERSA di A, e se esiste essa è UNICA. Ora vedremo quando essa esiste e, se esiste, come calcolarla.
Iniziamo dal primo punto: quando esiste l'inversa di una matrice quadrata?
Condizione necessaria e sufficiente affinché una MATRICE QUADRATA A AMMETTA INVERSA è che il DETERMINANTE di A NON sia NULLO. Ovvero
Vediamo perché il fatto che il DETERMINANTE di A NON sia NULLO rappresenta la CONDIZIONE NECESSARIA affinché la matrice A abbia un'INVERSA.
Per definizione abbiamo che:
A · A-1 = I.
Ora calcoliamo il determinante dei due MEMBRI, ovvero:
- il determinante di A · A-1
- e il determinante di I.
Avremo:
det (A · A-1) = det I.
Per le proprietà dei determinanti che abbiamo visto in precedenza sappiamo che il determinate del prodotto di due matrici è uguale al prodotto del determinante della prima matrice per il determinante della seconda matrice, quindi
det (A · A-1) = det A · det A-1 = det I.
Sappiamo anche che il determinante della matrice identità è uguale ad 1. Quindi possiamo scrivere:
det (A · A-1) = det A · det A-1 = 1.
Per la legge di annullamento del prodotto il prodotto di due fattori è uguale a zero quando uno dei due fattori è uguale a zero.
Quindi, condizione necessaria affinché
det A · det A-1 = 1
è che entrambi i determinanti siano diversi da zero.
Pertanto, affinché la matrice quadrata A abbia un'INVERSA è necessario che
.
Ora vediamo perché il fatto che il DETERMINANTE di A NON sia NULLO rappresenta la CONDIZIONE SUFFICIENTE affinché la matrice A abbia un'INVERSA.
Partiamo dalla seguente uguaglianza:
A · Agg A = Agg A · A = det A · I
che abbiamo visto quando abbiamo parlato delle matrici aggiunte.
Se il DETERMINANTE di A è NON NULLO possiamo moltiplicare la nostra uguaglianza per
Avremo:
Poiché in un prodotto, cambiando l'ordine dei fattori il prodotto non cambia, scriveremo:
Semplifichiamo, dove possibile:
Ora dividiamo tutto per A:
e semplifichiamo:
Quindi possiamo dire che:
Poiché
A · A-1 = I
possiamo sostituire, nell'uguaglianza precedente, alla matrice I il prodotto di A per la sua INVERSA. Avremo:
Semplifichiamo ancora ed otteniamo:
che equivale a scrivere:
Quindi la matrice A ammette una matrice inversa, data dal PRODOTTO tra la FRAZIONE, che ha al NUMERATORE 1 e al DENOMINATORE il DETERMINANTE di A, e l'AGGIUNTA di A.
Abbiamo così trovato anche un primo metodo di calcolo della matrice inversa di A. Basta calcolare l'AGGIUNTA di A e DIVIDERE ogni suo elemento per il DETERMINANTE di A.
Tuttavia, questo modo di procedere è un po' laborioso, per questo nella prossima lezione vedremo un altro metodo per calcolare la matrice inversa di A.
