INTERSEZIONE DELLA PARABOLA CON LA RETTA
- Equazione della parabola
- Equazione della retta
- Metodo di confronto
- Equazione della parabola passante per tre punti
- Equazione della parabola passante per un punto dato e il vertice
- Fuoco e direttrice della parabola
- Sistemi di equazioni
In questa lezione vogliamo capire come è possibile stabilire se una PARABOLA e una RETTA si intersecano e, in caso affermativo, in quale punto.
Ricordiamo che l'equazione della parabola è la seguente:
y= ax2 + bx + c.
Mentre l'equazione della retta è:
y = mx + n.
Nell'immagine sopra la parabola e la retta si intersecano nel punto P (x; y).
Per trovare il punto di intersezione tra parabola e retta è sufficiente risolvere il SISTEMA
Per risolvere il sistema applichiamo il metodo del confronto e scriviamo:
ax2 + bx + c = mx + n.
Ora si tratterà di risolvere nei modi consueti.
Esempio:
vogliamo trovare, se esiste, il punto di intersezione tra la parabola
y= 2x2 + x + 2.
e la retta:
y = 4x + 1.
Per trovare il punto di intersezione tra retta e parabola è sufficiente risolvere il SISTEMA
Per risolvere il sistema applichiamo il metodo del confronto e scriviamo:
2x2 + x + 2 = 4x + 1.
Risolviamo:
2x2 + x + 2 - 4x - 1 = 0
2x2 - 3x + 1 = 0
da cui ricaviamo
x1 = (3 - 1)/ 4 = 1/2
x2 = (3 + 1)/ 4 = 1.
Ora, quando
x = 1/2
y = 4 (1/2) + 1 = 2 + 1 = 3.
Mentre quando
x = 1
y = 4 + 1 = 5.
Questo significa che la retta e la parabola si intersecano in due punti:
A (1/2; 3)
B ( 1; 5).
In generale si potranno avere tre situazioni diverse:
- la parabola e
la retta NON HANNO NESSUN PUNTO DI
INTERSEZIONE.
Ciò si verifica quando, posto
ax2 + bx + c = mx + n
abbiamo
Δ < 0.
In questo caso la retta si dice ESTERNA alla parabola;
- la parabola e
la retta HANNO DUE PUNTI DI
INTERSEZIONE.
Ciò si verifica quando
Δ > 0.
In questo caso la retta si dice SECANTE la parabola;
- la parabola e
la retta HANNO UN PUNTO DI
INTERSEZIONE.
Ciò si verifica quando
Δ = 0.
In questo caso la RETTA si dice TANGENTE la parabola e il punto P, di intersezione, si dice PUNTO DI TANGENZA.
