RADICALI QUADRATICI
- Radice quadrata
- Elevamento a potenza
- Equivalenza logica
- I numeri relativi
- Potenze di numeri relativi
Come abbiamo appreso in una delle precedenti lezioni, si chiama RADICE QUADRATA di un NUMERO REALE a POSITIVO O NULLO, il NUMERO REALE b, anch'esso POSITIVO O NULLO, tale che il QUADRATO di b è UGUALE ad a.
In altre parole
che si legge
radice quadrata di a uguale b
b al quadrato uguale a
con
a maggiore o uguale a zero
e
b maggiore o uguale a zero.
Notiamo che abbiamo posto due condizioni:
a ≥ 0
e
b ≥ 0.
Cerchiamo di capirne il motivo partendo dalla prima condizione posta:
a ≥ 0.
Abbiamo detto che il RADICANDO a deve essere POSITIVO o NULLO. Supponiamo di voler trovare la radice quadrata di un numero negativo, ad esempio
In altre parole si tratta di trovare un numero b che, elevato al quadrato, dia -9. Ma questo è impossibile poiché noi sappiamo che il quadrato di un numero, sia esso positivo che negativo, è sempre un numero positivo. Quindi, la RADICE QUADRATA di un NUMERO NEGATIVO, NON ESISTE.
Quindi possiamo dire che
è un'espressione priva di significato o non definita.
Vediamo ora cosa accade se:
a = 0.
La RADICE QUADRATA di ZERO è uguale a ZERO. Quindi:
Passiamo ad esaminare la seconda condizione:
b ≥ 0.
Immaginiamo di voler determinare la radice quadrata di un numero positivo. Esempio:
Esistono due numeri che elevati al quadrato danno come risultato 9. Infatti:
(+3)2 = +9
(-3)2 = +9.
Ora, se accettassimo entrambe le soluzioni, non sapremmo quale dei due risultati scegliere come soluzione. Inoltre, per la proprietà transitiva dell'uguaglianza dovremmo concludere che:
+3 = -3.
Quindi, al fine di evitare il sorgere di equivoci, per convenzione, si sceglie come radice di un numero positivo, un numero anch'esso positivo. Nel nostro esempio:
Avremo, invece che
b = 0
quando
a = 0
dato che
Infine, osserviamo che la RADICE QUADRATA di un NUMERO REALE POSITIVO ESISTE SEMPRE. Essa sarà:
- un numero
reale positivo RAZIONALE,
cioè un numero che può essere rappresentato da una
FRAZIONE, nel caso in cui
a è il quadrato di un numero
razionale;
Esempi:
- un numero
reale positivo IRRAZIONALE,
cioè un numero che può essere rappresentato da un numero DECIMALE
ILLIMITATO in quanto ha una rappresentazione decimale
infinita e non periodica, nel caso in cui a
non è il quadrato di un numero razionale
Esempio:
