POTENZA DI UN RADICALE
- Radicali di indice n
- Condizione di esistenza dei radicali
- Radicali con indice dispari
- Potenze con esponente frazionario
- Proprietà delle potenze
- L'insieme dei numeri naturali
- Simboli usati per l'insieme dei numeri naturali
- L'insieme dei numeri reali
La POTENZA m-esima (che si legge emmesima) di un RADICALE è un radicale che ha:
- per indice lo STESSO INDICE;
- per radicando la POTENZA m-esima del radicando dato.
In altre parole:
Ovviamente dobbiamo sempre tenere conto delle condizioni di esistenza dei radicali. Quindi scriveremo:
che si legge
la radice ennesima di a, elevata ad m
è uguale
alla radice ennesima di a elevata ad m
con
m ed n appartenenti ad enne asterisco (ovvero l'insieme dei numeri naturali escluso lo zero) e
se n è pari, a maggiore o uguale a zero
se n è dispari a appartenente ai reali.
Vogliamo ora dimostrare quanto abbiamo appena detto. Dallo studio delle potenze con esponente frazionario sappiamo che:
Ora eleviamo ad m entrambi i membri:
A secondo membro ci troviamo di fronte ad una potenza di potenza. Quindi possiamo scrivere:
Ma sempre per quanto abbiamo appreso studiando le potenze con esponente frazionario, sappiamo che:
Abbiamo, quindi, dimostrato che:
Vediamo alcuni esempi:
In questo caso l'indice del radicale è dispari: possiamo tranquillamente procedere ad applicare la formula appena vista. Avremo:
Secondo esempio:
In questo caso l'indice del radicale è pari. Il radicando 7 è positivo, quindi possiamo passare ad applicare la formula:
Concludiamo con un ultimo esempio:
In questo caso l'indice è dispari e il radicando è negativo. Ricordando che nel caso di radicali con indice dispari e con radicando negativo è possibile portare il segno meno fuori dalla radice senza che il risultato cambi, possiamo risolvere questo caso in due modi diversi:
oppure
Osserviamo che, nel secondo caso, abbiamo portato il segno meno fuori dal simbolo di radice ma, poiché successivamente abbiamo elevato al quadrato, il valore che otteniamo è positivo.
