FORMULA DI BISEZIONE DELLA TANGENTE
- Formule goniometriche
- Seconda relazione fondamentale della goniometria
- Formula di bisezione del seno
- Formula di bisezione del coseno
Continuiamo il nostro esame delle formule di bisezione parlando della FORMULA DI BISEZIONE della TANGENTE.
Sappiamo, dalla seconda relazione fondamentale della goniometria, che la TANGENTE di un angolo può essere scritta come il RAPPORTO tra il SENO e il COSENO dell'angolo stesso.
Quindi la tangente dell'angolo α/2 può essere scritta come:
Noi sappiamo che la FORMULA DI BISEZIONE DEL SENO è:
mentre la FORMULA DI BISEZIONE DEL COSENO è:
Andando a sostituirle nella formula precedente, rispettivamente a numeratore e denominatore, avremo:
Andiamo a scrivere la nostra formula sotto forma di prodotto del numeratore per l'inverso del denominatore:
Semplifichiamo:
ed abbiamo ottenuto la formula di bisezione della tangente, ovvero:
Affinché la formula abbia significato è necessario che il denominatore della frazione sia diverso da zero. In altre parole è necessario porre la condizione:
1 + cos α ≠ 0
che equivale a dire
cos α ≠ -1
Ora noi sappiamo che il coseno di un angolo è uguale a -1 solamente quando l'angolo misura 180° . Quindi, la condizione da porre sarà:
α ≠ π + 2kπ
con k ∈ Z
Per quanto riguarda il SEGNO con il quale occorre prendere la formula di bisezione della tangente, valgono le stesse considerazioni che abbiamo già fatto parlando della formula di bisezione del seno e di quella del coseno. Quindi la scelta va fatta tenendo conto del SEGNO della TANGENTE di α/2.
Vediamo, anche in questo caso, un esempio concreto.
Ipotizziamo di voler calcolare
tan (7/8)π
Possiamo scrivere (7/8)π come [(7/4)/ 2]π ed applicare la formula di bisezione della tangente.
Poiché (7/8)π si trova nel secondo quadrante, la tangente assumerà sicuramente segno negativo. Quindi, la formula da applicare sarà:
La formula di bisezione della tangente si può presentare anche in altri due modi, diversi da quello visto in questa lezione: essi sono più pratici da usare perché sono razionali (cioè nella formula non è presente la radice). Inoltre hanno il vantaggio di non presentare il doppio segno ±: di esse parleremo nella prossima lezione.
