INSIEME DELLE PARTI

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

• Nozione di insieme
• Insiemi finiti e infiniti
• Cardinalità di un insieme finito
• Insieme vuoto
• Sottoinsiemi di un insieme
• Sottoinsiemi propri e impropri
• Casi particolari dell'elevazione a potenza

Supponiamo di avere il seguente INSIEME:

A = {2, 4, 6}.

Vediamo ora quali sono i suoi possibili SOTTOINSIEMI:

{2}

{4}

{6}

{2, 4}

{2, 6}

{4, 6}.

Parlando di SOTTOINSIEMI PROPRI ed IMPROPRI abbiamo appreso che dato un insieme A esso ammette sempre DUE SOTTOINSIEMI:

1. A STESSO;
2. l'INSIEME VUOTO { }.

Quindi, aggiungendo anche A e l'insieme vuoto, tutti i sottoinsiemi del nostro insieme A saranno:

{}

{2}

{4}

{6}

{2, 4}

{2, 6}

{4, 6}

{2, 4, 6}.

Ora scriviamo l'insieme formato da questi sottoinsiemi. Per rendere più chiara la cosa abbiamo scritto in verde i sottoinsiemi dell'insieme A e in blu l'insieme formato da tali sottoinsiemi. Avremo:

{ {}, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6} }.

L'insieme che abbiamo appena scritto si dice INSIEME DELLE PARTI DI A.

Quindi, l'INSIEME DELLE PARTI DI A è l'insieme i cui ELEMENTI sono tutti i SOTTOINSIEMI di A, compreso l'INSIEME VUOTO e A STESSO.

L' INSIEME DELLE PARTI DI A viene indicato con il simbolo

oppure

2^A

che si legge

insieme delle parti di A

oppure

insieme potenza di A

o ancora

booleano di A.

L'INSIEME DELLE PARTI DI A sarà FINITO o INFINITO a seconda che A sia un INSIEME FINITO o un INSIEME INFINITO.

Indichiamo con n il numero degli elementi di cui è formato l'insieme A. n rappresenta la CARDINALITA' di A e si scrive

Car(A) = n.

Supponiamo che A sia l'INSIEME VUOTO. Cioè n = 0. Avremo:

A = { }.

Gli unici SOTTOINSIEMI di A sono

• l'insieme vuoto - { }
• A stesso, cioè { }.

poiché l'insieme vuoto è uguale ad A,

l'unico SOTTOINSIEME di A è

{ }.

Quindi l'INSIEME DELLE PARTI DI A sarà

{ {} }.

Quindi

è formato da un solo elemento.

Allora possiamo dire che la CARDINALITA' dell'INSIEME DELLE PARTI di A è 1.

Immaginiamo ora che A sia un insieme formato da un SOLO ELEMENTO, cioè n = 1. Ovvero:

A = {a}.

I SOTTOINSIEMI di A sono

{ } - insieme vuoto

{a}

{a} - A stesso.

poiché {a} = {a},

l'INSIEME DELLE PARTI DI A sarà

{ {}, {a} }.

Quindi

è formato da due elementi.

Allora possiamo dire che la CARDINALITA' dell'INSIEME DELLE PARTI di A è 2.

Supponiamo ora che A sia un insieme formato da un DUE ELEMENTI, cioè n = 2. Ovvero:

A = {a, b}.

I SOTTOINSIEMI di A sono

{ }

{a}

{b}

{a, b}.

L'INSIEME DELLE PARTI DI A sarà

{ {}, {a}, {b}, {a, b} }.

Quindi

è formato da quattro elementi.

Allora possiamo dire che la CARDINALITA' dell'INSIEME DELLE PARTI di A è 4.

Abbiamo visto in precedenza che, se A è formato da 3 elementi, l'insieme delle parti di A è formato da 8 elementi.

Ricapitoliamo quanto abbiamo detto:

Generalizzando possiamo dire che, se l'insieme A ha un numero FINITO di ELEMENTI n, l'INSIEME DELLE PARTI di A è pure esso FINITO e avrà un numero di elementi pari a 2ⁿ.

Infatti:

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