DISEQUAZIONI FRATTE CON VALORE ASSOLUTO

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

• Disequazioni fratte
• Disequazioni con valore assoluto
• Disequazioni fratte con valore assoluto
• Disequazioni fratte con valore assoluto a numeratore o a denominatore
• Disequazioni fratte con valore assoluto a numeratore o a denominatore

In questa lezione ci occuperemo delle DISEQUAZIONI FRATTE con VALORE ASSOLUTO, cioè di quelle disequazioni nelle quali l'incognita è presente al denominatore (solamente al denominatore oppure anche al denominatore) e nelle quali compare anche un valore assoluto.

Queste disequazioni si possono presentare in tante forme diverse. Alcune delle più frequenti sono:

1. tutta la FRAZIONE si trova dentro il MODULO

   
   
   

2. solo il NUMERATORE si trova dentro il MODULO

   
   
   

3. solo il DENOMINATORE si trova dentro il MODULO

   
   
   

Gli esempi che abbiamo riportato sono tutti con segno maggiore o uguale, ovviamente quello che diremo può essere esteso, con le dovute differenze, ai casi di segno solo maggiore oppure solo minore o ancora minore o uguale.

Prima di spiegare nel dettaglio come va risolto questo tipo di disequazioni, ricordiamo due cose sulle FRAZIONI:

1. una frazione che ha al NUMERATORE lo ZERO è uguale a ZERO;
2. una frazione che ha al DENOMINATORE lo ZERO è PRIVA DI SIGNIFICATO o si dice anche che è IMPOSSIBILE.

Iniziamo a vedere come si risolvono le disequazioni del tipo:

La frazione è tutta posta dentro il modulo quindi, a primo membro, avremo senz'altro un valore positivo, e dunque maggiore di zero, a meno che:

• A(x) è uguale a zero. In questo caso la frazione è uguale a zero e la disequazione non ammette soluzioni (dato che zero non è maggiore di zero);
• B(x) è uguale a zero. In questo caso la frazione è priva di significato.

Quindi la soluzione della disequazione è:

che si legge

qualunque x appartenente ai reali

tale che A con x è diverso da zero

o

B con x è diverso da zero.

Invece, se la disequazione da risolvere è del tipo:

bisognerà includere tra i risultati i valori delle x tali che A(x) è uguale a zero. In questo caso, infatti, la frazione è uguale a zero e la disequazione è verificata. Quindi, in questo caso, la soluzione è

che si legge

qualunque x appartenente ai reali

tale che

B con x è diverso da zero.

Se, invece, la disequazione da risolvere è

la disequazione non ammette nessuna soluzione dato che a primo membro abbiamo sempre un valore positivo o tutt'al più lo zero.

Quindi possiamo scrivere

che si legge

non esiste soluzione

oppure

S = Ø

che si legge

la soluzione è l'insieme vuoto.

Se, invece, la disequazione da risolvere è

essa è verificata solo quando A(x) è uguale a zero. In questo caso la frazione è uguale a zero e la disequazione è vera dato che cerchiamo i valori di x che rendono il primo membro UGUALE o minore del secondo.

Quindi la disequazione si risolve ponendo

A(x) = 0.

Passiamo al secondo caso: quello nel quale a primo membro abbiamo un valore assoluto, all'interno del quale c'è la frazione, e a secondo membro c'è una costante.

Una frazione del tipo:

si risolve in maniera analoga ad una disequazione del tipo:

|D(x)| > k.

Ricordandosi sempre che quando il numeratore è nullo la frazione è uguale a zero e quando il denominatore è nullo la frazione perde di significato.

Di conseguenza avremo:

Continueremo, nella prossima lezione e in quelle successive, l'esame delle disequazioni fratte con valore assoluto.

Lezione precedente - Lezione successiva

Indice argomenti sulle disequazioni con valore assoluto

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