DISEQUAZIONI CON UN VALORE ASSOLUTO DENTRO L'ALTRO
- Disequazioni con valore assoluto
- Disequazioni con valore assoluto e lo zero
- Disequazioni con valore assoluto e una costante
- Disequazioni con valore assoluto e una costante
- Disequazioni con valore assoluto e incognita fuori dal modulo
Continuiamo a vedere come si risolvono le disequazioni con valore assoluto parlando del caso in cui nella disequazione sono presenti un VALORE ASSOLUTO DENTRO L'ALTRO. Ad esempio:
| A(x) + |B(x)| | > k
oppure
| A(x) + |B(x)| | < k
o anche
| A(x) + |B(x)| | > C(x).
oppure
| A(x) + |B(x)| | < C(x).
dove k può assumere valore zero o essere una qualsiasi altra costante, mentre A(x), B(x) e C(x) sono delle espressioni contenenti l'incognita x.
Ovviamente, anziché il l simbolo di maggiore o di minore, potremmo avere il simbolo di maggiore o uguale oppure minore o uguale.
Per risolvere queste disequazioni richiamiamo alla mente quanto abbiamo già detto parlando delle equazioni con valore assoluto.
In pratica dobbiamo immaginare, quello che è scritto nel MODULO ESTERNO, come se fosse una sola espressione. Prendiamo il primo caso (ovviamente, quello che diremo vale anche per gli altri casi con i dovuti adattamenti)
| A(x) + |B(x)| | > k.
Si tratta di immaginare la disequazione scritta nella forma:
Per cui la nostra disequazione diventa
| D(x) | > k.
A questo punto, si risolve secondo le regole apprese nelle lezioni precedenti.
Esempio:
| 3x + |6x - 2 | | > 14.
Poniamo
D(x) = 3x + | 6x - 2 |.
La nostra disequazione diventa:
| D(x) | > 14.
Questa disequazione rientra nel caso esaminato nella lezione 3. Poiché
k = 14
cioè un NUMERO POSITIVO, le soluzioni della disequazione sono
D(x) > 14 ˅D(x) < - 14.
Ora, ricordando che
D(x) = 3x + | 6x - 2 |
possiamo scrivere le soluzioni della nostra disequazione, ovvero
3x + | 6x - 2 | > 14 ˅ 3x + | 6x - 2 | < - 14
Da qui ricaviamo
| 6x - 2 | > - 3x + 14 ˅ |6x -2 | < -3x - 14.
Le disequazioni appena scritte sono del tipo:
| A(x)| > B(x) e | A(x)| < B(x).
Questo tipo di disequazioni, come abbiamo appreso nella lezione 6 si risolvono con lo studio dei segni. Andiamo a risolvere, quindi, nel modo in cui abbiamo già appreso.
Partiamo dalla prima disequazione
| 6x - 2 | > - 3x + 14
Andiamo a studiare il segno dell'espressione presente nel modulo:
6x - 2 ≥ 0
da cui otteniamo
6x ≥ 2
x ≥ 2/6
x ≥ 1/3.
Disegniamo il solito grafico:
e andiamo a scrivere i due sistemi:
Andiamo a risolvere il primo sistema:
Riportiamo le soluzioni delle due disequazioni su un grafico:
La soluzione del sistema è data dalle
x < - 4.
Passiamo al secondo sistema
Riportiamo i risultati delle due disequazioni su un grafico:
La soluzione del sistema è
x > 16/9.
Quindi, la nostra disequazione, ha come soluzioni
x < - 4 ˅ x > 16/9.
E se avessimo dovuto risolvere una disequazione del tipo
| A(x) + |B(x)| | > C(x).
Il punto di partenza è sempre lo stesso, cioè porre
D(x) = A(x) + |B(x)|.
A questo punto si risolve secondo le regole proprie del tipo di disequazione che abbiamo di fronte.
