DISEQUAZIONI IRRAZIONALI CON UNA COSTANTE A SECONDO MEMBRO E IL SEGNO DI MINORE (<)
- Disequazioni irrazionali
- Condizione di esistenza dei radicali
- Sistemi di disequazioni di primo grado
Vediamo ora come si risolvono le DISEQUAZIONI IRRAZIONALI nel caso in cui, in esse, compaiono:
Si potranno avere due casi diversi:
In questa lezione esamineremo il primo caso, ovvero:
mentre rimandiamo la trattazione del secondo caso alla prossima lezione.
Abbiamo detto che
A(x) è un polinomio
mentre
k è
una costante.
Ora si potranno verificare due ipotesi, a seconda del valore assunto dall'INDICE DELLA RADICE:
- n è DISPARI;
- n è PARI.
Iniziamo a vedere cosa accade se
n è DISPARI.
Ricordiamo che, se n è dispari, possiamo sempre estrarre la radice sia quando il RADICANDO è POSITIVO che quando è NEGATIVO o UGUALE A ZERO: quindi è sufficiente che l'incognita appartenga ai reali.
Inoltre, estraendo la radice ennesima di A(x) potremo avere sia valori positivi (se il radicando è positivo) che valori negativi (se il radicando è negativo). Quindi k potrà essere tanto un numero positivo che negativo.
Di conseguenza, per risolvere questo tipo di disequazioni è sufficiente ELEVARE entrambi i membri della disequazione ad n. In altre parole avremo:
che equivale a scrivere:
Esempio:
Poiché n è dispari (n = 3) non ha importanza il valore assunto da k (k = 5) e la nostra disequazione si risolve nel modo seguente:
Passiamo ad esaminare il caso in cui
n è PARI.
In questa ipotesi le cose diventano un po' più complicate. Innanzi tutto dobbiamo osservare che, se n è pari, possiamo estrarre la radice solamente se il RADICANDO è POSITIVO o UGUALE A ZERO. Quindi, per prima cosa è necessario che
Va poi detto che, quando andiamo ad estrarre la radice, avremo sempre un valore POSITIVO o, tutt'al più, UGUALE a ZERO. Quindi, se k dovesse essere NEGATIVO, non accadrà mai che un valore positivo sia minore di uno negativo, come non accadrà mai che lo zero sia minore di un valore negativo. In altre parole se:
k < 0
la disequazione NON AMMETTE SOLUZIONI.
Esempio:
Poiché n è pari (n = 2) e k è negativo (k = -3) possiamo dire che la disequazione non ammette soluzioni.
Se, invece, k dovesse essere POSITIVO, la disequazione ha delle soluzioni che si ottengono ELEVANDO entrambi i membri alla ennesima potenza. Ricordiamoci, però, che il RADICANDO deve essere POSITIVO o UGUALE A ZERO. Questo significa trovare i valori dell'incognita che soddisfano, al tempo stesso:
- sia la condizione che il radicando sia positivo o uguale a zero;
- che la disequazione che otteniamo elevando primo e secondo membro all'ennesima potenza. In altre parole, questo significa risolvere il seguente SISTEMA DI DISEQUAZIONI:
Chiaramente, tale sistema, può essere scritto anche nel modo che segue:
Esempio:
In questo caso n è pari (n = 2) e k è positivo (k = 10) quindi andiamo a risolvere il sistema:
Da cui otteniamo:
Quindi, la nostra disequazione irrazionale è soddisfatta per le x comprese tra 0 e 20, con 0 incluso e 20 escluso. In altre parole:
E se invece del segno < avessimo il segno ≤ ?
Non cambia nulla: sarà sufficiente porre al posto del simbolo < il simbolo ≤ .
Esempio:
In questo caso compare il simbolo ≤. Andiamo a risolvere come abbiamo visto in precedenza. L'indice è dispari (n=3) quindi è sufficiente elevare primo e secondo membro alla terza:
