EQUAZIONI RECIPROCHE DI SECONDA SPECIE DI QUINTO GRADO
- Equazioni reciproche
- Equazioni reciproche di prima specie di quarto grado
- Equazioni reciproche di prima specie di terzo grado
- Equazioni reciproche di prima specie di quinto grado
- Equazioni reciproche di seconda specie di quarto grado
- Equazioni reciproche di seconda specie di sesto grado
- Equazioni reciproche di seconda specie di terzo grado
- Equazioni di primo grado ad una incognita
- Equazioni di secondo grado ad una incognita
- Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete
- Divisibilità del polinomio P(x) per il binomio (x+a)
- Regola di Ruffini
- Divisione
Concludiamo l'argomento delle EQUAZIONI RECIPROCHE parlando delle EQUAZIONI RECIPROCHE di SECONDA SPECIE di QUINTO GRADO.
Esse si presentano nel modo seguente:
ax5 + bx4 +cx3 - cx2 - bx - a= 0.
Intuitivamentenotiamo che l'equazione ammette come radice
x = 1.
Infatti:
ax5 +bx4 +cx3 - cx2 - bx - a= 0
a(1)5 +b(1)4 +c(1)3 - c(1)2 - b(1) - a= 0
a + b + c- c - b - a = 0.
Questo significa che la nostra equazione è divisibile per il binomio (x - 1).
Quindi, applicando la regola di Ruffini, possiamo dividere il polinomio dato per (x-1) in questo modo otterremo come quoziente un'equazione reciproca di prima specie di quarto grado che chiameremo Q(x).
Pertanto per risolvere l'equazione di partenza è sufficiente risolvere l'equazione:
(x -1) Q(x) = 0.
Per la legge di annullamento del prodotto se un prodotto è zero, almeno uno dei suoi fattori è zero.
Quindi si tratterà di risolvere due equazioni:
x-1 = 0 che è un'equazione lineare la cui soluzione è x = 1
e
Q(x) = 0 che, come abbiamo detto, è un'equazione reciproca di prima specie di quarto grado.
Esempio:
2x5 - 3x4 -5x3 + 5x2 + 3x - 2= 0.
Per prima cosa osserviamo che ci troviamo di fronte ad un'equazione reciproca di seconda specie:
2x5 - 3x4 -5x3 + 5x2 + 3x - 2 = 0.
Dividiamo l'equazione per x - 1 applicando la regola di Ruffini:
(2x5 - 3x4 -5x3 + 5x2 + 3x - 2): (x-1).
Quindi possiamo scrivere:
(2x5 - 3x4 -5x3 + 5x2 + 3x - 2): (x-1) =
= 2x4 -x3 - 6x2 - x + 2.
Di conseguenza la nostra equazione di partenza può essere scritta come:
(x-1) (2x4 -x3 - 6x2 - x + 2) = 0.
Risolviamo e abbiamo:
-
x - 1 = 0
x = 1
-
2x4 -
x3 - 6x2 - x + 2 = 0.
Dividiamo per x2:
2x4/x2 -x3/x2 - 6x2/x2 - x/x2+ 2/x2 = 0
2x2 - x - 6- 1/x+ 2/x2 = 0.
Mettiamo in evidenza 2 e -1:
2(x2 +1/x2) -1 (x + 1/x) - 6 = 0.
Poniamo:
x2 +1/x2 =(x+1/x)2 - 2.
Sostituiamo nella precedente e abbiamo:
2[(x+1/x)2 -2]-1 (x + 1/x) - 6 = 0
2(x+1/x)2 -4-1 (x + 1/x) - 6 = 0
2(x+1/x)2 -1 (x + 1/x) - 6 - 4 = 0
2(x+1/x)2 -1 (x + 1/x) - 10 = 0.
Poniamo:
t = x + 1/x
e abbiamo
2t2 - t - 10 = 0.
Risolviamo e abbiamo:
Ora ricordiamo che:
t = x + 1/x.
Quindi avremo:
Le soluzioni della nostra equazione, quindi, sono:
x = +1
x = 1/2
x = 2
x = -1.
