EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO

METODO DEL PASSAGGIO A SISTEMA

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

• Equazioni lineari in seno e coseno
• Equazioni lineari in seno e coseno: metodo delle formule parametriche
• Posizione di una retta rispetto ad una circonferenza

Nella lezione precedente abbiamo visto come si possono risolvere le EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO, applicando il METODO DELLE FORMULE PARAMETRICHE.

In questa lezione andremo a vedere come possiamo risolvere le stesse equazioni applicando il METODO DEL PASSAGGIO A SISTEMA, chiamato anche METODO GRAFICO.

Applicando questo metodo, per risolvere l'equazione

a sen x + b cos x + c = 0

con

c ≠ 0

andiamo a scrivere un SISTEMA di due equazioni, nel quale:

• la prima equazione è la nostra EQUAZIONE LINEARE;
• mentre la seconda equazione è la PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA.

Quindi poniamo:

cos x = X

sen x = Y

Sostituiamo nel sistema scritto in precedenza ed otteniamo:

A questo punto si tratterà di risolvere il sistema formato da un'equazione di primo grado ed una di secondo grado. Procederemo nel modo seguente:

• andremo a trovare nella prima equazione, il valore di una incognita (ad esempio la X);
• andremo a sostituire il valore trovato nella seconda equazione che diventerà un'equazione ad una sola incognita (nel nostro esempio la Y). Ed andremo a risolvere questa seconda equazione.

  Risolvendo la seconda equazione si possono verificare tre casi diversi:

  • la seconda equazione ammette due soluzioni reali e distinte (Y₁ ed Y₂). Sostituiamo tali valori nella prima equazione e troviamo i due valori dell'altra incognita (X₁ ed X₂).

    Il sistema, quindi, ammette due coppie di soluzioni X₁, Y₁ e X₂, Y₁.

    Ricordando che, inizialmente, avevamo posto:

    cos x = X

    sen x = Y

    dovremo andare a risolvere due sistemi:

    

    
    

    Le soluzioni del sistema lineare in seno e coseno sono date dalle soluzioni del primo o del secondo sistema o di entrambi;

    
    
  • la seconda equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti (Y₁). Sostituiamo tale valore nella prima equazione e troviamo il valore dell'altra incognita (X₁).

    Ricordando che, inizialmente, avevamo posto:

    cos x = X

    sen x = Y

    dovremo andare a risolvere il sistema:

    

    
    

    Le soluzioni di tale sistema sono anche le soluzioni dell'equazione lineare in seno e coseno;

    
    
  • la seconda equazione non ammette soluzioni reali e, di conseguenza, neppure il sistema ammette soluzioni.

    In questo caso, l'equazione lineare in seno e coseno è impossibile.

    
    

Vediamo un esempio per capire meglio quanto abbiamo esposto.

Esempio:

Mettiamo a sistema con la prima relazione fondamentale della goniometria:

A questo punto poniamo:

cos x = X

e

sen x = Y

e il nostro sistema diventa:

Ricaviamo, dalla prima equazione, il valore di Y:

Sostituiamo tale valore nella seconda equazione:

ed andiamo a risolvere:

Ora andiamo a sostituire i valori di X₁ e di X₂ nella prima equazione, in modo da trovare i corrispondenti valori Y₁ e Y₂:

• per

  X₁ = 0

  avremo:

  

• per

  

  avremo:

  

A questo punto abbiamo due sistemi:

Sostituiamo ad X il coseno di x e ad Y il seno di y ed otteniamo:

Ora non ci resta che risolvere le equazioni goniometriche elementari nel seno e nel coseno:

Queste sono le soluzioni dell'equazione lineare data.

Come si è detto prima, questo metodo è detto anche METODO GRAFICO in quanto:

• la prima equazione rappresenta l'EQUAZIONE DI UNA RETTA;
• mentre la seconda equazione rappresenta l'EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA CON CENTRO NELL'ORIGINE DEGLI ASSI e RAGGIO PARI AD 1.

Di conseguenza, risolvere questo sistema significa trovare i PUNTI DI INTERSEZIONE tra la retta e la circonferenza. Sull'argomento rimandiamo a quanto detto nella lezione "Posizione di una retta rispetto ad una circonferenza".

Nella prossima lezione concluderemo l'argomento delle equazioni lineari in seno e coseno vedendo l'ultimo possibile metodo di risoluzione, ovvero quello dell'angolo aggiunto.

Lezione precedente - Lezione successiva

Indice degli argomenti sulle equazioni goniometriche

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