EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI DEL TIPO
sen x = a
Cominciamo l'esame delle EQUAZIONI GONIOMETRICHE e della loro risoluzione partendo dalle EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMETARI.
Con questa espressione si intendono delle equazioni che possono assumere tre forme diverse, ovvero:
sen x = a
cos x = b
tan x = c
dove a, b e c sono numeri reali, il che può essere scritto nel modo seguente
con a, b, c ∈ R
che si legge
a b e c appartenenti all'insieme dei numeri reali.
Equazioni goniometriche di tipo diverso possono essere spesso ricondotte ad una di queste tre equazioni.
In questa lezione ci occuperemo della prima delle equazioni scritte sopra, mentre delle altre due ci occuperemo nelle prossime lezioni.
Quando la nostra equazione assume la forma di
sen x = a
ci troviamo di fronte ad una equazione detta anche EQUAZIONE GONIOMETRICA ELEMENTARE NEL SENO.
La prima osservazione da fare è che, il seno assume sempre valori compresi tra -1 e +1 qualuque sia il valore dell'angolo orientato. Di conseguenza, affinché l'equazione possa essere risolta è necessario che a sia compreso tra -1 e +1, con -1 e +1 inclusi. Quindi è necessario che:
-1 ≤ a ≤ +1.
In caso contrario l'equazione è impossibile.
Esempio:
sen x = 3
non ha significato e l'equazione NON AMMETTE SOLUZIONI.
Passiamo ora ad una seconda considerazione: essendo le funzioni goniometriche tutte delle FUNZIONI PERIODICHE, se l'equazione ammette soluzioni, esse sono INFINITE e si RIPETONO PERIODICAMENTE. In modo particolare, per quanto riguarda la funzione seno il PERIODO è pari a 2kπ. Di conseguenza, alle soluzioni trovate andranno aggiunte tutte le soluzioni che si ottengono compiendo k giri completi della circonferenza goniometrica.
Fatte queste premesse vediamo come si risove la nostra equazione.
Andiamo a disegnare la CIRCONFERENZA GONIOMETRICA:
Indichiamo gli assi cartesiani con X ed Y MAIUSCOLI in modo che non si crei confusione con l'incognita x.
Ora ricordiamo che il seno di un angolo orientato non è altro che l'ORDINATA del punto della circonferenza goniometrica associato all'angolo stesso.
Quindi, la prima cosa da fare è tracciare, sull'asse delle Y, un segmento la cui misura sia pari ad a. Poiché l'asse delle ordinate è orientata verso l’alto:
- se a è POSITIVO tracceremo il segmento partendo dall'origine degli assi e andando VERSO L'ALTO;
- se a è NEGATIVO tracceremo il segmento partendo dall'origine degli assi e andando VERSO IL BASSO.
Ora noi supporremo che a sia un numero positivo.
Andiamo a tracciare una RETTA PARALLELA all'ASSE delle X e passante per l'estremo, diverso dall'origine degli assi, del segmento a:
I due PUNTI, che chiamiamo P1 e P2, nei quali tale retta interseca la circonferenza goniometrica, rappresentano i punti associati rispettivamente agli angoli α e π - α:
Quindi, data l'equazione goniometrica
sen x = a
le soluzioni saranno:
x = α
oppure
x = π - α
o entrambe
Tuttavia, data la periodicità della funzione seno, bisognerà aggiungere anche tutte quelle soluzioni che si ottengono compiendo k giri completi della circonferenza goniometrica. Di conseguenza, la soluzione della nostra equazione goniometrica sarà:
x = α + 2kπ
oppure
x = (π - α) + 2kπ
che andremo a scrivere nel modo seguente:
x = α + 2kπ ∨ x = (π - α) + 2kπ
che si legge
x = α + 2kπ oppure x = (π - α) + 2kπ
con
che si legge
con k appartenente all'insieme dei numeri relativi.
Ovviamente, lo stesso risultato, può essere scritto anche in gradi sessadecimali, nel modo seguente:
x = α° + k·360°π ∨ x = (180° - α°) + k·360°
con
Nella prossima lezione vedremo alcuni esempi di come si risolvono le equazioni goniometriche fondamentali nel seno.
