EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO
METODO DELLE FORMULE PARAMETRICHE
- Tangente
- Equazioni goniometriche elementari del tipo tan x = c
- Formula parametrica del seno
- Formula parametrica del coseno
Nella lezione precedente abbiamo iniziato a parlare delle EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO, cioè delle equazioni che si presentano nella forma:
a sen x + b cos x + c = 0.
e abbiamo visto come si risolvono nel caso in cui c = 0.
In questa lezione andremo a vedere come si risolvono queste equazioni nel caso in cui
c ≠ 0.
Diciamo subito che esistono diversi metodi che ci permettono di risolvere questo tipo di equazioni:
- il metodo delle FORMULE PARAMETRICHE DEL SENO e DEL COSENO, che è il metodo più utilizzato;
- il metodo del PASSAGGIO A SISTEMA;
- il metodo dell'ANGOLO AGGIUNTO.
In questa lezione ci occuperemo del metodo delle FORMULE PARAMETRICHE, mentre nelle prossime lezioni andremo a vedere gli altri due metodi.
Le FORMULE PARAMETRICHE ci dicono che:
e che
con
t = tan x/2
Sostituiamo queste formule nell'equazione lineare in seno e coseno:
a sen x + b cos x + c = 0
Otteniamo così un'equazione di secondo grado in un'incongnita, la t.
Una volta risolta questa equazione bisogna ricordarsi che:
t = tan x/2
in modo da sostituire a t il valore trovato ed andare a calcolare il valore di x.
E' importante ricordare che, nel costruire le FORMULE PARAMETRICHE, si deve porre come condizione (per comprenderne il motivo si leggano le lezioni relative alla formula parametrica del seno e del coseno) che
x/2 ≠ π/2 + kπ
da cui segue che:
x ≠ π + 2kπ
Poiché la formula parametrica non è verificata per tale valore, prima di effettuare la trasformazione dell'equazione lineare in seno e coseno, in un'equazione di secondo grado la cui incognita è t, è necessario VERIFICARE se
x = π +2kπ
è o non è una SOLUZIONE dell'equazione lineare in seno e coseno. Se essa è soluzione dell'equazione, allora x = π + 2kπ va aggiunto alle soluzioni che verrano trovate successivamente.
Vediamo, attraverso un esempio, come risolvere questo tipo di equazioni.
Esempio:
-sen x + cos x -1 = 0
Per prima cosa andiamo a verificare se π + 2kπ è o meno soluzione della nostra equazione.
Sostituiamo, al primo membro dell’equazione x = π ed otteniamo:
-sen π + cos π -1 = 0
Andiamo a sostituire al seno e al coseno di π i loro rispettivi valori:
0 -1 -1 ≠ 0
Poiché il valore a primo membro è diverso da zero, π non è soluzione della nostra equazione.
Ora effettuiamo la sostituzione delle formule parametriche nell'equazione data. Ed otteniamo:
Calcoliamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo la somma indicata a primo membro:
Moltiplichiamo, primo e secondo membro per 1 + t2: non è necessario porre come condizione che 1 + t2 sia diverso da zero, in quanto ciò si verifica sempre poiché il quadrato di un numero è sempre positivo o tutt'al più uguale a zero nel caso in cui t fosse uguale a zero. Aumentando t2 di 1 avremo sempre un numero diverso da zero.
Quindi otteniamo:
- 2t + 1 - t2 -1 - t2 = 0
Eseguiamo la somma algebrica dei termini simili:
-2t - 2t2 = 0
Mettiamo in evidenza -2t ed otteniamo:
-2t (1 + t) = 0
Per la legge di annullamento del prodotto possiamo dire che la nostra equazione è uguale a zero quando:
-2t = 0
oppure quando:
1 + t = 0
Ricordando che:
t = tan x/2
possiamo scrivere:
- -2t = 0 → t = 0 → tan x/2 = 0 → x/2 = 0 + kπ → x = 2kπ
- 1 + t = 0 → t = -1 → tan x/2 = -1 → x/2 = 3/4π + kπ → x = (3/2)π + 2kπ
Siamo giunti, così, alle soluzioni della nostra equazione lineare in seno e coseno che sono:
x = 2kπ ∨ x = (3/2)π + 2kπ
Prima di vedere, nelle prossime lezioni, come è possibile risolvere l'equazione con i metodi del passaggio a sistema e dell'angolo aggiuntivo, vogliamo farvi osservare che esiste anche un ulteriore metodo per la soluzione di un'equazione lineare in seno e coseno: essa consiste nell'applicare la prima relazione fondamentale della goniometria e trasformare il seno in coseno o viceversa, in modo da avere un'equazione nella quale è presente solamente il seno di x o il suo coseno. Tuttavia, questo metodo non viene generalmente seguito perché porta a dover risolvere delle equazioni irrazionali piuttosto complesse.
