EQUAZIONI GONIOMETRICHE RISOLVIBILI MEDIANTE FORMULE GONIOMETRICHE
- Equazioni goniometriche elementari
- Formule goniometriche
- Formula di duplicazione del coseno
- Formula di bisezione del coseno
- Formule di Werner
- Particolari equazioni goniometriche elementari
In questa lezione ci occuperemo delle EQUAZIONI GONIOMETRICHE che sono risolvibili mediante l'applicazione delle FORMULE GONIOMETRICHE.
Con questa espressione indichiamo una serie di equazioni, che possono presentarsi in forma diversa, ma che sono tutte caratterizzate dalla presenza di DIVERSE FUNZIONI GONIOMETRICHE (seno e coseno, seno e tangente, seno coseno e tangente, ecc...).
Queste equazioni non hanno un unico modo di presentarsi e, per questa ragione, non esiste un'unica regola per risolverle.
Ad ogni modo possiamo dire che, per la loro risoluzione, è necessario:
- usare le FORMULE GONIOMETRICHE per esprimere l'equazione goniometrica in UNA SOLA FUNZIONE GONIOMETRICA (tutta in seno o tutta in coseno, ecc..);
- risolvere l'equazione ottenuta considerando l'UNICA FUNZIONE GONIOMETRICA come l'INCOGNITA della nostra equazione;
- RISOLVERE l'EQUAZIONE GONIOMETRICA ELEMENTARE ottenuta.
Vediamo un esempio concreto ricordando che, come abbiamo già detto, per la soluzione di queste equazioni bisognerà capire di volta in volta quali sono le formule goniometriche più opportune da usare.
Esempio 1:
Osserviamo la nostra equazione: si tratta di una equazione in seno e coseno. La cosa da notare, e che può darci l'idea su come risolverla, sono gli angoli x e x/2: l'uno è il doppio dell'altro. Per questo motivo ci possono essere utili le FORMULE DI DUPLICAZIONE (si potrebbero utilizzare anche quelle di bisezione ma, data la presenza in esse della radice, avremmo una equazione più complessa da risolvere).
Andiamo ad applicare la formula di duplicazione del coseno:
cos 2α = cos22 α - sen2 α
osservando che nel nostro caso
2α = x
e di conseguenza
α = x/2.
Sostituiamo ed otteniamo:
Semplifichiamo ed eseguiamo i calcoli:
Poiché a primo membro abbiamo un quadrato, esso può essere scritto anche nel modo seguente:
che, per la legge di annullamento del prodotto si annulla quando uno dei fattori è uguale a zero. Ed essendo i due fattori (diversi da -3) uguali, la nostra equazione è vera quando:
sen x/2 = 0
che sappiamo equivale a dire che:
x/2 = kπ
da cui, moltiplicando primo e secondo membro per 2, otteniamo
x = 2kπ.
Esempio 2:
sen x cos 3x = sen 2x cos 4x
La cosa che salta subito all'occhio è che, in questa equazione, sia a primo che a secondo membro abbiamo il prodotto di seno per coseno. Questo ci fa pensare che potremmo risolvere l'equazione utilizzando le FORMULE DI WERNER.
La nostra equazione, quindi, diventa:
sen x cos 3x = sen 2x cos 4x
1/2 [sen (x + 3x) + sen (x - 3x)] = 1/2 [sen (2x +4x) + sen (2x - 4x)].
Eseguiamo le moltiplicazioni indicate e le somme all'interno delle parentesi tonde ed abbiamo:
1/2 [sen (x + 3x) + sen (x - 3x)] = 1/2 [sen (2x +4x) + sen (2x - 4x)].
1/2 sen 4x + 1/2 sen -2x = 1/2 sen 6x + 1/2 sen -2x.
Semplifichiamo:
1/2 sen 4x + 1/2 sen (-2x) = 1/2 sen 6x + 1/2 sen (-2x).
1/2 sen 4x = 1/2 sen 6x .
Moltiplichiamo primo e secondo membro per 2:
sen 4x = sen 6x .
Abbiamo così ricondotto la nostra equazione ad una particolare equazione goniometrica elementare che abbiamo imparato a risolvere in una precedente lezione.
Le due soluzioni sono:
- 4x = 6x + 2kπ → 4x - 6 x = 2kπ →
-2x = 2kπ → x = 2kπ
Come abbiamo già visto in una delle precedenti lezioni non c'è bisogno di modificare il segno di 2kπ;
- 4x + 6x = π + 2kπ → 10x = π +2kπ → x = π/10 + kπ/5
Quindi le soluzioni dell'equazione data sono:
x = kπ ∨ x = π/10 + kπ/5
