ALCUNI CASI PARTICOLARI DI EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI NEL SENO
- Equazioni goniometriche
- Equazioni goniometriche elementari del tipo sen x = a
- Esempi di equazioni goniometriche elementari del tipo sen x = a
- Tabella dei valori delle funzioni goniometriche dei principali archi
Nella lezione precedente abbiamo visto tre esempi che illustrano diversi tipi di EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI NEL SENO.
Ora vogliamo esaminare alcuni casi particolari.
Il primo di essi è:
sen x = 1
"Cos'ha di particolare questa equazione?" All'apparenza nulla: infatti essa si risolve nei modi consueti visti in precedenza. Ma, risolvendola, vedremo che essa ammette una sola soluzione.
Vediamo perchè.
Innanzittutto, possiamo affermare che sicuramente la nostra equazione ammette soluzioni dato che
-1 ≤ a ≤ +1.
Noi sappiamo che 1 è il seno dell'arco, π/2, quindi le soluzioni dell'equazione saranno:
x = π/2 + 2kπ
oppure
x = (π - π/2) + 2kπ.
Ora eseguiamo, in questa seconda soluzione, la differenza indicata in parentesi ed otteniamo:
Come possiamo notare si tratta dello stesso risultato scritto prima. Quindi, la particolarità di questa equazione sta nel fatto che essa ammette una sola soluzione che è:
x = π/2 + 2kπ
con
Ovviamente, come sempre, possiamo esprimere questo risultato anche in gradi, ovvero:
x = 90° + k·360°
con
E se, invece, ci troviamo di fronte all'equazione:
sen x = -1
abbiamo sempre una sola soluzione?
La risposta è "Si." Verifichiamolo risolvendola.
Per prima cosa diciamo che l'equazione è ammissibile in quanto
-1 ≤ a ≤ +1.
L' arco a cui corrisponde il seno -1 è 3π/2, quindi le soluzioni dell'equazione sono:
x = 3π/2 + 2kπ
oppure
x = (π - 3π/2) + 2kπ.
Da quest'ultima equazione otteniamo:
Quindi le soluzioni sono:
x = 3π/2; + 2kπ ∨ x = -π/2 + 2kπ
con
Notiamo, però, che la seconda soluzione è un ANGOLO NEGATIVO ovvero un angolo che nasce da una rotazione oraria anziché antioraria. Ora noi sappiamo che k è un NUMERO INTERO RELATIVO: se ad esso assegniamo il valore -1, la prima soluzione diventa:
3π/2 + 2·(-1)·π
da cui otteniamo:
3π/2 - 2π = (3π -4π)/2 = -π/2
Quindi è chiaro che la prima soluzione comprende anche la seconda. Di conseguenza possiamo scrivere che la soluzione della nostra equazione è:
x = 3/2π + 2kπ.
con
La stessa soluzione scritta in gradi, è
x = 270° + k·360°
con
Un altro caso particolare è il seguente:
sen x = 0
Essendo il seno di un angolo l'ORDINATA del punto della circonferenza associato all'angolo stesso, tale ordinata è pari a 0 quando l'angolo è pari a 0 oppure a π: quindi, in pratica, ogni 180° (cioè π in radianti) a partire da zero.
Di conseguenza possiamo scrivere il risultato dell'equazione come:
x = 0 + kπ
che non è altro che:
x = kπ
Continueremo, nella prossima lezione ad esaminare alcune equazioni goniometriche che sono riconducibili all'equazione goniometrica elementare nel seno.
