EQUAZIONI GONIOMETRICHE: COME SI RISOLVONO
In questa lezione ricapitoleremo, attraverso una tabella, le regole di risoluzione delle equazioni goniometriche che abbiamo visto nelle lezioni precedenti a cui si rimanda per un esame più approfondito.
Per tutte le soluzione si intende sempre:
che si legge
con k appartenente all'insieme dei numeri relativi
Le soluzioni indicate in azzurro stanno ad indicare che l'equazione viene ricondotta ad un'altro dei tipi esposti in tabella.
| Tipo di equazione | Condizione | Soluzione |
|---|---|---|
| sen x = a | -1 ≤ a ≤ + 1 | x = α + 2kπ ∨ x = (π - α) + 2kπ |
| cos x = b | -1 ≤ a ≤ + 1 | x = ±α +2kπ |
| tan x = c | x ≠ π/2 + kπ | x = α + kπ |
| cot x = n | x ≠ kπ | tan x = 1/n |
| sec x = n | n ≤ -1 n ≥ -1 x ≠ π/2 + kπ |
cos x = 1/n |
| cosec x = n | n ≤ -1 n ≥ -1 x ≠ kπ |
sen x = 1/n |
| sen α = sen α' | α = α' + 2kπ ∨ α + α' = π + 2kπ | |
| cos α = cos α' | α = ± α' + 2kπ | |
| tan α = tan α' | α = α' + kπ | |
| cotan α = cotan α' | tan (π/2 - α) = tan (π/2 - α') | |
| sen α = - sen α' | sen α = sen (-α') | |
| cos α = - cos α' | cos α = cos (π - α') | |
| tan α = - tan α' | tan α = tan (-α') | |
| cotan α = - cotan α' | tan (π/2 - α) = - tan (π/2 - α') | |
| sen α = cos α' | sen α = sen (π/2 - α') | |
| sen α = - cos α' | sen α = sen (α' - π/2) | |
| a sen2x + b sen x + c = 0 | sen x = y ay2 + by + c = 0 |
|
| a cos2x + b cos x + c = 0 | cos x = y ay2 + by + c = 0 |
|
| a tan2x + b tan x + c = 0 | tan x = y ay2 + by + c = 0 |
|
| a cot2x + b cot x + c = 0 | cot x = y ay2 + by + c = 0 |
|
| a sen x + b cos x = 0 | tan x = -b/a | |
| a sen x + b cos x + c = 0 | sen x = 2t/(1 + t2) cos x = (1 - t2)/(1 + t2) t = tan x/2 prima di effettuare la sostituzione verificare se x = π + 2kπ è o no soluzione dell'equazione data |
|
| a sen x + b cos x + c = 0 |  poniamo cos x = X sen x = Y  |
|
| a sen x + b cos x + c = 0 |  tan α = b/a r sen (x + α) = -c |
|
| b sen x cos x + c cos2 x = 0 | cos x (b sen x + c cos x) = 0 | |
| a sen2 x + b sen x cos x = 0 | sen x (a sen x + b cos x) = 0 | |
| a sen2 x + b sen x cos x + c cos2 x = 0 | a tan2 x + b tan x + c = 0 y = tan x ay2 + by + c = 0 |
|
| a sen2 x + b sen x cos x + c cos2 x = d | a sen2 x + b sen x cos x + c cos2 x = d (sen2 x + cos22 x) | |
| equazioni goniometriche simmetriche | x = y + π/4 |
Nella tabella che segue, invece, andiamo a riportare alcune equazioni goniometriche molto frequenti delle quali viene indicato il risultato.
| Equazione | Soluzione |
|---|---|
| sen x = 1 | x = π/2 + 2kπ |
| sen x = -1 | x = 3π/2 + 2kπ |
| sen x = 0 | x = kπ |
| cos x = 1 | x = 2kπ |
| cos x = -1 | x = π + 2kπ |
| cos x = 0 | x = π/2 + kπ |
| tan x = 1 | x = π/4 + kπ |
