FUNZIONE LOGARITMICA

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

• I logaritmi: definizione
• Proprietà dei logaritmi derivate dalla formula di cambiamento di basi e dai teoremi sui logaritmi

Consideriamo la seguente funzione:

y = log_a x

con

che si legge

con a appartenente ai reali positivi meno l'insieme formato dall'elemento uno.

Questo tipo di funzione prende il nome di FUNZIONE LOGARITMICA.

Vediamo qual è il GRAFICO della FUNZIONE LOGARITMICA.

Per farlo distinguiamo i due casi in cui:

a > 1

0 < a < 1.

Partiamo dal primo caso

a > 1.

Per esaminare questo caso poniamo

a = 2

e scriviamo la funzione

y = log₂ x

Attribuiamo ad xalcuni valori casuali, in modo da osservare come varia y al variare di x. Ricordiamo che l'ARGOMENTO del logaritmo deve essere POSITIVO, quindi dobbiamo attribuire alla x solamente valori positivi. Supponiamo allora che x assuma i seguenti valori:

1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16.

Mediante la formula di cambiamento delle basi e una calcolatrice scientifica troviamo i corrispondenti valori di y, che sono

-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Usiamo le coppie di valori appena trovati

e tracciamo il grafico della funzione

y = log₂ x.

Esso è

Osserviamo che:

• tutto il grafico della funzione si trova nel semipiano delle x positive e ciò è la conseguenza del fatto che l'argomento deve essere positivo;
• la curva interseca l'asse delle ascisse nel punto di coordinate (1; 0);
• quando l'argomento, (cioè la nostra x) assume valori MINORI di 1 (ma maggiori di zero), la y è NEGATIVA, mentre quando assume valori MAGGIORI di 1, la y è POSITIVA,
• al crescere dell'argomento (quindi della x) cresce anche il valore della y. Pertanto possiamo dire che la FUNZIONE è CRESCENTE;
• mano a mano che la x assume valori positivi via via più vicini allo zero, l'ordinata diminuisce. Questo andamento del grafico viene espresso dicendo che al tendere di x allo zero 0⁺ per indicare che x è positivo e si avvicina sempre più a zero), log_a x tende a meno infinito -∞);
• mano a mano che la x assume valori via via più grandi, l'ordinata cresce. Questo andamento del grafico viene espresso dicendo che al tendere di x all'infinito ( che si esprime con il simbolo ∞), log_a x tende all'infinito;

Questo andamento è tipico della funzione logaritmica ogni volta che a > 1.

Ora vediamo cosa accade quando

0 < a < 1.

Per esaminare questo caso poniamo

a = 1/2

e scriviamo la funzione

y = log_1/2 x

Attribuiamo ad x alcuni valori casuali, in modo da osservare come varia y al variare di x. Ovviamente l'ARGOMENTO del logaritmo deve essere sempre POSITIVO, quindi dobbiamo attribuire alla x solamente valori positivi minori di 1. Supponiamo allora che x assuma i seguenti valori:

1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16.

Mediante la formula di cambiamento delle basi e una calcolatrice scientifica troviamo i corrispondenti valori diy, che sono

4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, 4.

Usiamo le coppie di valori appena trovati

e troviamo il grafico della funzione

y = log_1/2 x.

Esso è

Osserviamo che:

• tutto il grafico della funzione si trova nel semipiano delle x positive e ciò è la conseguenza del fatto che l'argomento deve essere positivo;
• la curva interseca l'asse delle ascisse nel punto di coordinate (1 ; 0);
• quando l'argomento, (cioè la nostra x) assume valori MINORI di 1 (ma maggiori di zero), la y è POSITIVA, mentre quando assume valori MAGGIORI di 1, la y è NEGATIVA,
• al crescere dell'argomento (quindi della x) decresce il valore della y. Pertanto possiamo dire che la FUNZIONE è DECRESCENTE;
• mano a mano che la x assume valori positivi via via più vicini allo zero, l'ordinata cresce. Questo andamento del grafico viene espresso dicendo che al tendere di x allo 0⁺ (per indicare che x è positivo e si avvicina sempre più a zero), log_a x tende a più infinito (che si esprime con il simbolo di +∞);
• mano a mano che la x assume valori via via più grandi, l'ordinata decresce. Questo andamento del grafico viene espresso dicendo che al tendere di x all'infinito ∞), log_a x tende a meno infinito (che si esprime con il simbolo di +∞);

Questo andamento è tipico della funzione logaritmica ogni volta che a < 1.

Ora mettiamo a confronto i due grafici appena disegnati:

Osserviamo che le due curve sono tra loro simmetriche rispetto all'asse delle x.

Questo perché, per le proprietà dei logaritmi

log_1/2 x = - log₂ x.

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Indice degli argomenti su esponenziali e logaritmi

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