ESERCIZI SULLE PROPRIETA' DEI LOGARITMI

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto quali sono i TEOREMI e le PROPRIETA' dei LOGARITMI. Ora, in questa lezione, vogliamo vedere alcuni esercizi nei quali tali teoremi e proprietà possono essere applicati.

Esercizio 1:

ridurre la seguente espressione ad un unico logaritmo

log₃ 7 - log₃21 + 3 log₃ 6.

Per cominciare abbiamo la differenza di due logaritmi aventi la stessa base. Applichiamo il TEOREMA DEL RAPPORTO di DUE LOGARITMI secondo il quale

log_a (b/c) = log_a b - log_a c

e scriviamo

log₃ 7 - log₃21 + 3 log₃ 6 =

= log₃ (7/ 21) + 3 log₃ 6 =

= log₃ (1/3) + 3 log₃ 6.

Ora applichiamo il TEOREMA DELLA POTENZA DI UN LOGARITMO che ci dice che

log_a bⁿ = n · log_a b

e scriviamo

log₃ (1/3) + 3 log₃ 6 =

= log₃ (1/3) + log₃ 6³ =

= log₃ (1/3) + log₃ 216.

LA LEZIONE PROSEGUE SOTTO LA PUBBLICITA'

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Infine applichiamo il TEOREMA DEL PRODOTTO DI DUE LOGARITMI che afferma che

log_a (b · c) = log_a b + log_a c

e scriviamo

= log₃ [1/3) ·216 ] = log₃ 72.

Esercizio 2:

ridurre la seguente espressione ad un unico logaritmo

log₂ x²y².

Applichiamo il TEOREMA DEL PRODOTTO DI DUE LOGARITMI e scriviamo

log₂ x²y²= log₂ x²+ log₂y².

Ora applichiamo il TEOREMA DELLA POTENZA DI UN LOGARITMO ricordando che, poiché x ed y sono delle variabili e poiché gli esponenti sono pari dobbiamo porre come condizione che gli ARGOMENTI dei due LOGARITMI siano POSITIVI prendendone i valori assoluti

= log₂ x²+ log₂y² =

= 2 log₂ \x\+ 2 log₂| y|.

Esercizio 3:

applicando i teoremi sui logaritmi calcolare il valore della seguente espressione

5 log₂ 4 - log₂ 8.

Applichiamo il TEOREMA DELLA POTENZA DI UN LOGARITMO e scriviamo

log₂ 4⁵ - log₂ 8.

Per comodità, scriviamo sia il 4 che l'8 come potenze del 2:

log₂ (2²)⁵ - log₂ 2³

⁼log₂ 2¹⁰ - log₂ 2³.

Applichiamo il TEOREMA DELLA RAPPORTO DI DUE LOGARITMI e scriviamo

log₂ (2¹⁰/ 2³) =