RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI ESPONENZIALI CON POTENZE AVENTI LO STESSO ESPONENTE

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

• Funzione esponenziale
• Risoluzione di equazioni esponenziali
• Equazione esponenziale elementare
• Risoluzione di equazioni esponenziali con potenze della stessa base
• Risoluzione di equazioni esponenziali con potenze aventi basi ed esponenti diversi
• Risoluzione delle equazioni esponenziali mediante sostituzione
• Risoluzione delle equazioni esponenziali con metodo grafico

Continuiamo a vedere come si risolvono le equazioni esponenziali e, in questa lezione, ci occuperemo di quelle equazioni nelle quali compaiono a PRIMO e a SECONDO MEMBRO due POTENZE aventi lo STESSO ESPONENTE.

Le equazioni di cui parliamo si presentano nella forma:

a ^f(x) = b ^f(x).

Queste equazioni si risolvono PONENDO l'ESPONENTE UGUALE a ZERO. In altre parole

f(x) = 0.

Cerchiamo di capirne il perché.

Se dividiamo primo e secondo membro della nostra equazione per b ^f(x) avremo:

Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere:

Ma una potenza con base diversa da 1, è uguale ad 1, solamente se l'esponente è uguale a zero. Per questa ragione dobbiamo porre

f(x) = 0.

Esempio 1:

64 · 2^x-7 - 9 · 3^x-3 = 0.

Iniziamo a trasformare la nostra equazione:

2⁶ · 2^x-7 - 3² · 3^x-3 = 0.

Applichiamo le proprietà delle potenze e scriviamo:

2^6+x-7 - 3^2+x-3 = 0

2^x-1 - 3^x-1 = 0.

A questo punto portiamo a secondo membro -3^x-1cambiando di segno

2^x-1 = 3^x-1

e abbiamo, a primo e secondo membro due potenze con basi diverse e lo stesso esponente. Quindi, per risolvere, dobbiamo porre

x - 1 = 0

la cui soluzione è

x = 1.

Esempio 2:

70 · 3^x-3 = 35 · 2^x-2.

Dividiamo, primo e secondo membro, per 35:

(70 · 3^x-3)/ 35 = (35 · 2^x-2)/ 35.

2 · 3^x-3 = 2^x-2.

Ora dividiamo primo e secondo membro per 2 ed otteniamo:

(2 · 3^x-3)/ 2 = (2^x-2) /2

3^x-3 = (2^x-2) /2.

A secondo membro applichiamo le proprietà delle potenze e scriviamo:

3^x-3 = 2^x-2-1

3^x-3 = 2^x-3.

Abbiamo così ottenuto un'equazione esponenziale nella quale, ai due membri, abbiamo potenze con basi diverse, ma lo stesso esponente. Per risolvere è sufficiente porre l'esponente pari a zero, ovvero

x - 3 = 0

x = 3.

Nelle prossime lezioni vedremo come risolvere altri tipi di equazioni esponenziali.

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Indice degli argomenti su esponenziali e logaritmi

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