RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI ESPONENZIALI CON POTENZE AVENTI BASI ED ESPONENTI DIVERSI
- Funzione esponenziale
- I logaritmi: definizione
- Logaritmi: casi particolari
- Funzione logaritmica
- Teoremi sui logaritmi: teorema della potenza di un logaritmo
- Risoluzione di equazioni esponenziali
- Equazione esponenziale elementare
- Risoluzione di equazioni esponenziali con potenze della stessa base
- Risoluzione di equazioni esponenziali con potenze aventi lo stesso esponente
- Risoluzione delle equazioni esponenziali mediante sostituzione
- Risoluzione delle equazioni esponenziali con metodo grafico
Proseguiamo nell'esame dei metodi di risoluzione delle equazioni esponenziali e andiamo a vedere cosa accade quando abbiamo un'equazione nella quale compaiono, a PRIMO e a SECONDO MEMBRO, due POTENZE aventi BASI DIVERSE ed ESPONENTI DIVERSI.
Le equazioni di cui parliamo si presentano nella forma:
a f(x) = b g(x).
In questo caso, se ci sono delle SOLUZIONI, esse sono IRRAZIONALI e si ottengono ricorrendo ai LOGARITMI ponendo
logc a f(x) = logc b g(x).
Applicando i TEOREMI sulle POTENZE dei LOGARITMI possiamo scrivere:
f (x) · logc a = g(x) · logc b.
La scelta della base del logaritmo c è soggettiva. In genere può essere conveniente porre:
- c
= a. In questo caso, avremo:
f (x) · loga a = g(x) · logab.
Come abbiamo visto in una precedente lezione
loga a = 1
di conseguenza l'equazione diventa
f (x) = g(x) · loga b;
- c
= b. In questo caso, avremo:
f (x) · logba = g(x) · logbb.
e poiché
logb b = 1
l'equazione diventa
f (x) · logb a = g(x);
- c
= e. In questo caso, avremo:
f (x) · log a = g(x) · log b.
Esempio:
Non potendo risolvere l'equazione in nessuno dei modi visti nelle precedenti lezioni procediamo, innanzitutto, trasformando la radice quadrata in un esponente frazionario:
A questo punto utilizziamo i logaritmi e scegliamo come base del logaritmo il numero di Nepero:
da cui, applicando il TEOREMA delle POTENZE di LOGARITMI otteniamo:
Eseguiamo i prodotti:
Moltiplichiamo, primo e secondo membro, per 2:
Portiamo a primo membro i termini contenenti la x e a secondo membro i termini noti, cambiando di segno:
A primo membro mettiamo in evidenza la x:
e risolviamo:
Nella prossima lezione vedremo come risolvere un ultimo tipo di equazione esponenziale.
