FORMULA DI TRIPLICAZIONE DELLA COTANGENTE
- Cotangente
- Formula di addizione del seno
- Formula di addizione del coseno
- Formula di duplicazione del seno
- Formula di duplicazione del coseno
Concludiamo l'esame delle formule di triplicazione parlando della FORMULA DI TRIPLICAZIONE DELLA COTANGENTE.
Partiamo, come al solito, scrivendo:
cotg 3α = cotg (2α + α)
Ora, ricordando che la COTANGENTE di un angolo non è altro che il RAPPORTO tra il COSENO e il SENO di quell'angolo, possiamo scrivere:
Chiaramente, trattandosi di una frazione affinché essa abbia significato dobbiamo porre la condizione che il suo denominatore sia diverso da zero, cioè
sen (2α + α) ≠ 0
Il seno di un angolo è uguale a zero quando l'angolo misura 0°, 180° e così via. Quindi la condizione da porre è
α ≠ kπ
con k ∈ Z
A questo punto possiamo applicare, a numeratore, la FORMULA DI ADDIZIONE del COSENO, ovvero
cos (α + β) = cos α · cos β - sen α · sen β
e, a denominatore, la FORMULA DI ADDIZIONE del SENO, cioè:
sen (α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β
In questo modo otteniamo:
Ora andiamo a sostituire la FORMULA DI DUPLICAZIONE del SENO, ovvero
sen 2α = 2 sen α · cos α
e la FORMULA DI DUPLICAZIONE del COSENO, cioè:
cos 2α = cos2 α - sen2 α
ed otteniamo:
Eseguiamo le moltiplicazioni ed abbiamo:
Sommiamo i termini simili
Ora dividiamo, numeratore e denominatore, per il sen3 α
Per poter eseguire la divisione senza che la frazione perda di significato occorre porre la condizione:
sen3 ≠ 0
che come abbiamo detto prima si verifica quando
α ≠ kπ
con k ∈ Z
La nostra formula diventa:
Ora andiamo a semplificare:
Quindi possiamo dire che la FORMULA DI TRIPLICAZIONE della TANGENTE è:
Posta la condizione che
α ≠ kπ
con k ∈ Z
Per concludere diciamo che saremmo potuti arrivare alla stessa formula partendo da:
cotg (2α + α)
e usando dapprima la formula di addizione della cotangente e successivamente la formula di duplicazione della cotangente: lasciamo a voi provare questo secondo metodo di dimostrazione.
