RAPPRESENTAZIONE CARATTERISTICA DI UN INSIEME
- Nozione di insieme
- Insiemi: alcuni simboli
- Rappresentazione di insiemi
- Rappresentazione tabulare di un insieme
- Rappresentazione grafica di un insieme
- Equivalenza logica
- L'insieme dei numeri naturali
Continuiamo ad esaminare le varie forme di rappresentazione di un insieme parlando della:
- RAPPRESENTAZIONE CARATTERISTICA
detta anche
- RAPPRESENTAZIONE INTENSIVA
o ancora
- RAPPRESENTAZIONE PER COMPRENSIONE.
Con la RAPPRESENTAZIONE
CARATTERISTICA l'insieme non viene individuato
elencando gli elementi che lo compongono, bensì INDICANDO
una PROPRIETA'
posseduta da tutti gli elementi dell'insieme e soltanto da questi.
Esempio:
Immaginiamo di avereil seguente insieme
A = {Chieti, L'Aquila, Pescara, Teramo}.
Per poterlo indicare con la RAPPRESENTAZIONE CARATTERISTICA dobbiamo individuare una proprietà posseduta dai quattro elementi dell'insieme e soltanto da essi.
Nel nostro caso la proprietà comune a tali elementi, e solo ad essi, è di essere tutte province dell'Abruzzo.
Quindi possiamo dire che
l'insieme A è formato dalle province dell'Abruzzo
che si scrive
A = {x|x è una provincia dell'Abruzzo}
che si legge
l'insieme A
formato dalle x tali che x è una provincia dell'Abruzzo.
Esaminiamo meglio quanto abbiamo scritto.
Come
è stato detto in una precedente lezione,
un INSIEME viene normalmente
indicato con una LETTERA MAIUSCOLA:
nel nostro esempio lo abbiamo indicato con la lettera A.
Le
PARENTESI GRAFFE indicano
l'insieme e al suo interno vengono indicati gli ELEMENTI
DELL'INSIEME tramite una caratteristica
che li contraddistingue e che contraddistingue essi soltanto.
La
x indica
una VARIABILE cioè un GENERICO
ELEMENTO DELL'INSIEME e
può rappresentare, nel nostro esempio, una delle quattro province
dell'Abruzzo.
x è una provincia dell'Abruzzo, indica la PROPRIETA' CARATTERISTICA degli elementi dell'insieme.
Ricapitolando:
Il simbolo
|
si legge
tale che.
A volte, al suo posto troviamo due puntini
:
anch'essi si leggono
tale che.
Quindi il nostro insieme poteva essere rappresentato anche nel modo seguente:
A = {x : x è una provincia dell'Abruzzo}
che si legge sempre
l'insieme A
formato dalle x tali che x è una provincia dell'Abruzzo.
Vediamo qualche altro esempio:
l'insieme costituito dagli allievi del liceo Galieli
A = {x|x è allievo del liceo Galilei}
che si legge
l'insieme
A formato dalle x tali che x è un allievo del liceo Galilei
l'insieme dei numeri naturali minori di 9
che si legge
l'insieme
A formato dalle x tali che x appartiene all'insieme N dei naturali e x è
minore di 9.
Più genericamente, se indichiamo con p la PROPRIETA' CARATTERISTICA dell'insieme A, per rappresentare l'insieme possiamo scrivere:
A = {x|x soddisfa alla proprietà p}.
Possiamo osservare che, a volte, uno stesso insieme può essere rappresentato usando diverse proprietà caratteristiche.
Esempio:
A = {x|x è un triangolo equilatero}
A = {x|x è un triangolo equiangolo}.
In questo caso, abbiamo indicato in due modi diversi, cioè mediante due proprietà caratteristiche diverse, lo stesso insieme dato che un triangolo equilatero è anche equiangolo.
I due insiemi sono logicamente equivalenti.
Nel definire un insieme mediante RAPPRESENTAZIONE CARATTERISTICA occorre fare attenzione a che la PROPRIETA' CARATTERISTICA che individua gli elementi dell'insieme non dia luogo ad incertezze.
Ad esempio, se dicessi
l'insieme delle città più belle dell'Italia
non avrei individuato con certezza un insieme poiché la qualità dell'essere città più bella dell'Italia dipende dal giudizio personale.
Concludiamo dicendo che, se la RAPPRESENTAZIONE TABULARE di un insieme si adatta soprattutto ad insiemi formati da pochi elementi, quando dobbiamo rappresentare un insieme formato da molti elementi diventa indispensabile usare la RAPPRESENTAZIONE CARATTERISTICA.
Nella lezione successiva, vedremo attraverso alcuni esempi, come è possibile rappresentare alcuni insiemi.
