PROPRIETA' DELLE CLASSI DI EQUIVALENZA
- Insieme vuoto
- Insiemi disgiunti
- Unione di due insiemi
- Partizione di un insieme
- Relazione di equivalenza
- Classi di equivalenza
- Implicazione logica
Nella lezione precedente abbiamo introdotto il concetto di CLASSI DI EQUIVALENZA.
In questa lezione parleremo delle PROPRIETA' DELLE CLASSI DI EQUIVALENZA.
1° PROPRIETA'. DUE ELEMENTI qualsiasi di una stessa CLASSE DI EQUIVALENZA sono EQUIVALENTI tra loro.
Supponiamo che a1 e a2 sono due elementi della classe di equivalenza a, cioè sono due elementi di [a].
Poiché la CLASSE
DI EQUIVALENZA è l'INSIEME
di tutti gli ELEMENTI di A
che sono equivalenti ad a
mediante 
possiamo scrivere:
Poiché una RELAZIONE DI EQUIVALENZA è SIMMETRICA avremo anche che:
E dato che una RELAZIONE DI EQUIVALENZA è anche TRANSITIVA avremo anche che:
se a con 1 equivalente a e a equivalente a con 2 allora a con 1 equivalente a con 2.
Ne segue che una CLASSE DI EQUIVALENZA può essere INDIVIDUATA da UNO QUALUNQUE dei SUOI ELEMENTI. Quindi ogni elemento della classe di equivalenza può essere preso come RAPPRESENTANTE della classe.
2° PROPRIETA'.
Data una RELAZIONE DI EQUIVALENZA
in un insieme A DUE
CLASSI DI EQUIVALENZA aventi un ELEMENTO
IN COMUNE sono
UGUALI.
Supponiamo che [a] e [b] sono due classi di equivalenza e che essi hanno in comune l'elemento c.
E' evidente che ogni elemento di [a] e ogni elemento di [b] è equivalente a c, quindi [a] e [b] sono identici a [c].
Quindi:
[a] = [b].
3° PROPRIETA'. Ogni RELAZIONE DI EQUIVALENZA in un insieme A determina una PARTIZIONE dell'insieme in CLASSI DI EQUIVALENZA.
Ricordiamo che si chiama PARTIZIONE di un insieme A, ogni INSIEME DI PARTI NON VUOTE di A, DISGIUNTE A DUE A DUE, e la cui UNIONE è uguale a A.
Ora noi sappiamo che OGNI CLASSE DI EQUIVALENZA non è VUOTA perché contiene ALMENO il suo RAPPRESENTANTE.
Due CLASSI DI EQUIVALENZA tra loro distinte sono DISGIUNTE dato che per la seconda proprietà vista sopra, se due classi di equivalenza hanno un elemento in comune esse sono uguali.
L'UNIONE di tutte le CLASSI DI EQUIVALENZA è uguale all'insieme A, dato che ogni elemento a dell'insieme A appartiene ad una classe di equivalenza.
Quindi possiamo affermare che le CLASSI DI EQUIVALENZA sono una PARTIZIONE DELL'INSIEME.
4° PROPRIETA'. Ogni PARTIZIONE di un INSIEME A determina una RELAZIONE DI EQUIVALENZA in A.
