IPERBOLE CON FUOCHI SULL'ASSE DELLE Y

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

• L'iperbole
• Equazione dell'iperbole
• Punto medio di un segmento
• La retta
• Distanza tra due punti sul piano cartesiano
• L'insieme dei numeri reali
• Simboli usati per l'insieme dei numeri reali
• Radice quadrata
• Raccoglimento a fattor comune parziale

Nelle precedenti lezioni ci siamo occupati dell'iperbole con fuochi sull'asse delle x.

Ora andremo ad esaminare il caso in cui l'IPERBOLE ha i FUOCHI sull'ASSE DELLE y.

In questo caso la nostra iperbole si presenta così:

Come possiamo notare, nella nostra IPERBOLE:

• l'ORIGINE degli ASSI è anche il PUNTO MEDIO dei FUOCHI;
• l'ASSE delle ORDINATE è la RETTA CHE CONGIUNGE i FUOCHI.

Ipotizziamo che i due fuochi abbiano le seguenti coordinate:

F₁ (0; -c)

F₂ (0; c).

Supponiamo, inoltre, che il generico punto P appartenente all'iperbole abbia coordinate

P (x; y).

Noi sappiamo che, affinché P sia un punto dell'IPERBOLE, si deve verificare la condizione:

| PF₁ -PF₂ | = costante.

Chiamiamo la nostra costante con 2b. Quindi possiamo scrivere:

| PF₁ -PF₂ | = 2b.

Ricordiamo che la distanza tra due punti è:

Sostituendo le coordinate dei punti P e F₁ possiamo dire che la distanza PF₁ è data da:

Sostituendo le coordinate dei punti P e F₂ possiamo dire che la distanza PF₂ è data da:

Quindi, la condizione

| PF₁ -PF₂ | = 2b

può essere scritta nel modo seguente

che equivale a scrivere

Isoliamo la prima radice a primo membro, portando la seconda radice a secondo membro e cambiandole di segno:

Eleviamo al quadrato primo e secondo membro ed otteniamo:

Osserviamo che ±2b elevato al quadrato, diventa +4b² dato che un numero sia esso positivo che negativo, elevato al quadrato, diventa sempre positivo.

Semplifichiamo:

ed otteniamo

Ora isoliamo la radice a secondo membro:

e sommiamo i termini simili:

Dividiamo primo e secondo membro per 4:

Eleviamo, ancora, primo e secondo membro al quadrato:

Anche in questo caso, quando eleviamo ±b al quadrato otteniamo un numero positivo.

Ora ordiniamo un po' i nostri valori:

Ora, tra i primi due termini del primo membro mettiamo in evidenza la y², mentre a secondo membro mettiamo in evidenza b². Avremo:

Quindi poniamo

b² = c² - a²

da cui otteniamo

a² = c² - b².

Come abbiamo già avuto modo di dire, esiste sempre un valore di b appartenente all'insieme dei reali positivi R⁺ tali che

b² = c² - a².

Sulla spiegazione del perché di tale affermazione si veda quanto abbiamo già detto nella seconda lezione.

Quindi effettuiamo la nostra sostituzione e avremo:

Dividiamo entrambi i membri per a²b² in modo da avere:

Ora cambiamo di segno a primo e secondo membro e otteniamo:

Quella che abbiamo scritto è l'EQUAZIONE dell'IPERBOLE con i FUOCHI sull'ASSE DELLE ORDINATE e CENTRO DI SIMMETRIA nell'ORIGINE DEGLI ASSI.

Quindi possiamo dire che:

è l'equazione dell'iperbole con centro di simmetria nell'origine degli assi e:

• fuochi sull'asse delle x, quando nell'equazione abbiamo +1;
• fuochi sull'asse delle y, quando nell'equazione abbiamo -1.

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Indice degli argomenti sull'iperbole

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