TRIANGOLO DI TARTAGLIA
Nella lezione precedente abbiamo appreso come è possibile calcolare la POTENZA di un BINOMIO.
Abbiamo visto come
(a +b)n
con n intero e positivo
è un:
- POLINOMIO OMOGENEO cioè un polinomio che ha tutti i TERMINI dello stesso grado;
- il cui GRADO è n;
- ORDINATO secondo le potenze DECRESCENTI di a e CRESCENTI di b.
Inoltre abbiamo appreso come è possibile calcolare i COEFFICIENTI dei termini di tale polinomio. Abbiamo detto, anche, che esiste un metodo più semplice per calcolare tali coefficienti e che tale metodo prende il nome di TRIANGOLO di TARTAGLIA.
Vediamo in cosa consiste.
Il TRIANGOLO di TARTAGLIA è un triangolo ideato dal matematico bresciano Nicolò Fontana chiamato, per l'appunto Tartaglia.
Il nome "triangolo", invece, viene dalla disposizione dei numeri che assumono la forma di un triangolo.
Ecco come si presenta il TRIANGOLO di TARTAGLIA:
Vediamo come si costruisce questo triangolo.
Si comincia con lo scrivere il numero 1 in alto al centro. Così:
I numeri di ogni riga successiva alla prima sono si ottengono come SOMMA di quelli sovrastanti scritti nella RIGA PRECEDENTE.
Dove non troviamo nessuna cifra consideriamo ci sia uno zero.
Quindi:
Una volta costruito il TRIANGOLO di TARTAGLIA vediamo come esso ci può aiutare a trovare i coefficienti dei termini della potenza di un binomio. Torniamo al nostro esempio:
(a +b)6
Abbiamo detto che esso è un:
- POLINOMIO OMOGENEO cioè un polinomio che ha tutti i TERMINI dello stesso grado;
- il cui GRADO è n;
- ORDINATO secondo le potenze DECRESCENTI di a e CRESCENTI di b.
Iniziamo, quindi, a scrivere la parte letterale del polinomio cercato:
a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6.
Vediamo, ora, come possiamo trovare i coefficienti di tali termini usando il triangolo di tartaglia.
I coefficienti cercati sono quelli indicati su una delle righe del triangolo. Quale riga?
Sulla PRIMA RIGA troviamo i coefficienti dei termini della potenza del binomio avente n = 0.
Sulla SECONDA RIGA troviamo i coefficienti dei termini della potenza del binomio avente n = 1.
Sulla TERZA RIGA troviamo i coefficienti dei termini della potenza del binomio avente n = 2. E così via:
Nel nostro caso n =6 quindi i coefficienti vanno trovati sulla 7° riga. Essi sono:
a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6.
Come potete notare è lo stesso risultato ottenuto nella lezione precedente.
Già nella lezione precedente avevamo notato che la POTENZA di un BINOMIO è un polinomio nel quale i COEFFICIENTI ESTREMI e quelli EQUIDISTANTI dagli ESTREMI sono UGUALI tra loro:
1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6.
Per questa ragione, a volte, il TRIANGOLO di TARTAGLIA viene presentato anche in questo modo:
in quanto su ogni riga i termini equidistanti dal centro sono uguali e quindi possiamo anche omettere di indicarli.
Nella prossima lezione vedremo come è possibile impiegare il TRIANGOLO di TARTAGLIA per sviluppare una potenza del tipo:
(a -b)n
