POTENZA DI UN BINOMIO
- Grado di un polinomio
- Polinomi ordinati
- Prodotto di polinomi
- Prodotti notevoli
- Quadrato di un binomio
- Cubo di un binomio
Parlando del cubo di un binomio abbiamo visto che esso può essere trovato moltiplicando il quadrato del binomio per il binomio stesso. Ovvero:
Allo stesso modo potremmo scrivere:
E ancora:
E potremmo andare avanti così.
Quindi, se noi dovessimo trovare (a+b)8 dovremmo:
- calcolare il quadrato di a+b;
- moltiplicare il quadrato ottenuto per a+b in modo da avere il suo cubo;
- moltiplicare il cubo di a+b per se stesso in modo da avere il suo valore elevato alla quarta;
- moltiplicare il valore di (a+b)4 per se stesso in modo da avere (a+b)5;
- moltiplicare il valore di (a+b)5 per se stesso in modo da avere (a+b)6;
- moltiplicare il valore di (a+b)6 per se stesso in modo da avere (a+b)7;
- moltiplicare il valore di (a+b)7 per se stesso in modo da avere (a+b)8.
E' evidente che si tratta di un procedimento molto lungo e laborioso. Tuttavia esiste una regola che ci permette di calcolare la POTENZA di un BINOMIO
(a +b)n
qualunque sia il valore di n.
Lo sviluppo di
(a +b)n
con n intero e positivo
è un:
- POLINOMIO OMOGENEO cioè un polinomio che ha tutti i TERMINI dello stesso grado;
- il cui GRADO è n;
- ORDINATO secondo le potenze DECRESCENTI di a e CRESCENTI di b.
I COEFFICIENTI dei termini di tale polinomio sono:
- il COEFFICIENTE del PRIMO TERMINE è 1;
- il COEFFICIENTE del SECONDO TERMINE è n;
- i COEFFICIENTI degli ALTRI TERMINI si ottengono MOLTIPLICANDO il COEFFICIENTE del TERMINE PRECEDENTE per l'ESPONENTE che ha a in questo termine AUMENTATO di 1 e DIVIDENDO il prodotto ottenuto per l'ESPONENTE che ha b, nello stesso termine.
Vediamo di capire quanto detto attraverso un esempio. Vogliamo calcolare
(a + b)6.
Innanzitutto la nostra potenza sarà un polinomio omogeneo, cioè un polinomio i cui termini saranno tutti dello stesso grado e pari ad n, cioè nel nostro caso pari a 6.
Inoltre il polinomio dovrà essere ordinato secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b.
Quindi, la parte letterale dei termini del polinomio che stiamo cercando sarà:
(a + b)6 = a6b0 + a5b1 + a4b2 + a3b3 + a2b4 + a1b5 + a0b6 =
= a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6.
Ora dobbiamo trovare i coefficienti dei vari termini.
Il primo coefficiente cercato è 1. Quindi:
= 1a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6 =
= a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6.
Il secondo coefficiente cercato è uguale all'esponente n, cioè è uguale a 6. Quindi
= a6 + 6a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6.
Gli altri coefficienti saranno uguali al prodotto tra il coefficiente del termine precedente per l'esponente che ha a in questo termine aumentato di 1, diviso per l'esponente che ha b nel termine.
Vediamo allora il coefficiente del terzo termine.
[6 x (4+1)] / 2 = 30/2 = 15
= a6 + 6a5b + 15a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6.
Il coefficiente del quarto termine sarà:
[15 x (3+1)] / 3 = 60/3 = 20
= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + a2b4 + ab5 + b6.
Il coefficiente del quinto termine sarà:
[20 x (2+1)] /4 = 60/4 = 15
= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + ab5 + b6.
Il coefficiente del sesto termine sarà:
[15 x (1+1)] /5 = 30/4 = 6
= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6.
L'ultimo coefficiente sarà:
[6 x (0+1 )] /6 = 6/6 = 1
= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6.
Possiamo osservare che i COEFFICIENTI ESTREMI e quelli EQUIDISTANTI dagli ESTREMI sono UGUALI tra loro:
1a6 +6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6.
Questo, può risultare utile nella pratica, in quanto è sufficiente calcolare la metà dei coefficienti del nostro polinomio sapendo che gli altri sono uguali.
Vedremo, nella lezione successiva, che esiste un metodo più semplice per calcolare i COEFFICIENTI dei termini del nostro polinomio. Esso prende il nome di TRIANGOLO di TARTAGLIA.
