TRIANGOLO DI TARTAGLIA: UN ALTRO ESEMPIO
Nella lezione precedente abbiamo spiegato cos'è e come si usa il TRIANGOLO di TARTAGLIA. In particolare abbiamo visto come esso è utile per sviluppare una potenza del tipo
(a + b)n.
Vediamo ora come possiamo applicare per il TRIANGOLO di TARTAGLIA per sviluppare, anziché la potenza della somma di due monomi, la potenza della differenza di due monomi, ovvero:
(a - b)n.
Parlando dei numeri relativi abbiamo appreso che la differenza di due numeri relativi si ottiene aggiungendo al primo l'opposto del secondo.
Quindi
(a - b)n.
Allora a - b può essere scritto anche come:
a - b = a + (- b).
Quindi
(a - b)n = [a + (- b)]n.
E' evidente, allora, che lo SVILUPPO di (a - b)n si ottiene da quello di (a + b)n SOSTITUENDO al posto di b il suo opposto -b.
Di conseguenza:
- i TERMINI che contengono b con ESPONENTE PARI restano INVARIATI;
- i TERMINI che contengono b con ESPONENTE DISPARI CAMBIANO di SEGNO.
Cerchiamo di comprendere quanto detto con un esempio:
(a - b)7.
Scriviamo il nostro POLINOMIO OMOGENEO (cioè un polinomio che ha tutti i TERMINI dello stesso grado) di GRADO n, ORDINATO secondo le potenze DECRESCENTI di a e CRESCENTI di b.
Iniziamo, quindi, a scrivere la parte letterale del polinomio cercato:
a7 + a6b + a5b2 + a4b3 + a3b4 + a2b5 + ab6 + b7.
Ora, con l'aiuto del TRIANGOLO di TARTAGLIA cerchiamo i nostri coefficienti che andranno presi dalla 8° riga.
Iniziamo con a7 che ha come coefficiente 1:
a7 + a6b + a5b2 + a4b3 + a3b4 + a2b5 + ab6 + b7.
Nel secondo termine (a6b), b compare con esponente dispari (1), quindi il coefficiente cambia di segno e diventa -7:
a7 -7a6b + a5b2 + a4b3 + a3b4 + a2b5 + ab6 + b7.
Nel terzo termine (a5b2), b compare con esponente pari, quindi il coefficiente rimane invariato:
a7 -7a6b + 21a5b2 + a4b3 + a3b4 + a2b5 + ab6 + b7.
Nel quarto termine (a4b3), b compare con esponente dispari, quindi il coefficiente cambia di segno e diventa -35:
a7 -7a6b + 21a5b2 - 35a4b3 + a3b4 + a2b5 + ab6 + b7.
Nel quinto termine (a3b4), b compare con esponente pari, quindi il coefficiente rimane invariato:
a7 -7a6b + 21a5b2 - 35a4b3 + 35a3b4 + a2b5 + ab6 + b7.
Nel sesto termine (a2b5), b comparecon esponente dispari, quindi il coefficiente cambia di segno e diventa -21:
a7 -7a6b + 21a5b2 - 35a4b3 + 35a3b4 - 21a2b5 + ab6 + b7.
Nel settimo termine (ab6), b comparecon esponente pari, quindi il coefficiente rimane invariato:
a7 -7a6b + 21a5b2 - 35a4b3 + 35a3b4 - 21a2b5 + 7ab6 + b7.
Nell'ultimo termine (b7), b comparecon esponente dispari, quindi il coefficiente cambia di segno e diventa -1:
a7 -7a6b + 21a5b2 - 35a4b3 + 35a3b4 - 21a2b5 + 7ab6 - b7.
Notiamo che i termini si succedono alternativamente con segno + e -.
