SERIE DI RAPPORTI UGUALI
- Rapporto di due numeri
- Rapporti uguali
- Proporzioni
- Proprietà fondamentale delle proporzioni
- Calcolo del termine incognito di una proporzione
Consideriamo i seguenti rapporti:
15 : 3 = 5; 20 : 4 = 5; 30 : 6 = 5; 55 : 11 = 5.
Notiamo che questi RAPPORTI sono tutti UGUALI tra loro.
Quindi possiamo scrivere:
15 : 3 = 20 : 4 = 30 : 6 = 55 : 11.
Quella che abbiamo scritto è una SERIE DI RAPPORTI UGUALI o anche CATENA DI RAPPORTI UGUALI.
Quindi una SERIE DI RAPPORTI UGUALI è l'UGUAGLIANZA di PIU' DI DUE RAPPORTI.
Data una SERIE DI RAPPORTI UGUALI, la SOMMA DEGLI ANTECEDENTI sta alla SOMMA DEI CONSEGUENTI, come UN ANTECEDENTE sta al SUO CONSEGUENTE.
Scriviamo in rosso gli antecedenti e in blu i conseguenti:
15 : 3 = 20 : 4 = 30 : 6 = 55 : 11.
In altre parole noi possiamo scrivere:
(15 + 20 + 30 + 55) : (3 + 4 + 6 + 11) = 15 :3
Ma possiamo scrivere anche
(15 + 20 + 30 + 55) : (3 + 4 + 6 + 11) = 20 :4
Oppure
(15 + 20 + 30 + 55) : (3 + 4 + 6 + 11) = 30 :6
O ancora
(15
+ 20 + 30 + 55) : (3 + 4 + 6 + 11) = 55
:11
Ora prendiamo una di queste SERIE DI RAPPORTI UGUALI:
(15
+ 20 + 30 + 55) : (3 + 4 + 6 + 11) = 15
:3
ed eseguiamo le nostre somme
(15
+ 20 + 30 + 55) : (3 + 4 + 6 + 11) = 15
:3
120 : 24 = 15
:3
Abbiamo così ottenuto una nuova proporzione. Infatti, il prodotto dei medi è uguali al prodotto degli estremi:
24 x 15 = 360
120 x 3 = 360.
La proprietà che abbiamo appena visto prende il nome di PROPRIETA' DEL COMPONENDO DEGLI ANTECEDENTI e DEI CONSEGUENTI.
Se in una CATENA DI RAPPORTI sono INCOGNITI TUTTI GLI ANTECEDENTI o TUTTI I CONSEGUENTI, ma si CONOSCE la loro SOMMA, si può applicare la proprietà precedente.
Esempio:
sappiamo che
x : 5 = y : 2 = z : 4
e che
x + y + z = 22.
Allora possiamo scrivere:
(x + y + z) : (5 + 2 + 4) = x : 5
(x + y + z) : (5 + 2 + 4) = y : 2
(x + y + z) : (5 + 2 + 4) = z : 4.
Noi, però, sappiamo che
x + y + z = 22.
Quindi possiamo scrivere:
22 : 11 = x : 5
22 : 11 = y : 2
22 : 11 = z : 4.
Ora possiamo risolvere le tre proporzioni come di consueto:
x = (22 x 5)/ 11 = 110/11 = 10
y = (22 x 2)/ 11 = 44/11 = 4
z = (22 x 4)/ 11 = 88/11 = 8.
Abbiamo così trovato i tre termini incogniti.
