RAPPRESENTAZIONE DELLE SOLUZIONI DI UNA DISEQUAZIONE
- Disuguaglianze e disequazioni
- Come si risolvono le disequazioni
- L'insieme dei numeri reali
- La retta
- Intervalli
Nella lezione precedente abbiamo visto come possiamo risolvere una DISEQUAZIONE NUMERICA INTERA.
In questa lezione vedremo, invece, come è possibile RAPPRESENTARE le SOLUZIONI TROVATE.
Nell'esempio visto nella lezione precedente avevamo detto che la nostra disequazione era soddisfatta per i valori di
x > -3.
Il primo modo di indicare la soluzione della nostra disequazione è quella appena vista ovvero
x > -3.
Avremmo, però, potuto scrivere anche:
Essa si legge:
l'insieme delle x appartenenti ad R tali che x è maggiore di -3.
Cerchiamo di capire meglio questi simboli e il loro significato:
R è l'insieme dei NUMERI REALI. Esso comprende TUTTI I NUMERI esprimibili, con o senza la virgola, tramite il sistema decimale.
Un altro modo per rappresentare il risultato della nostra disequazione è quello GRAFICO.
In questo caso si disegna una RETTA ORIENTATA. Una retta si dice orientata quando su di essa è FISSATO UN VERSO di PERCORRENZA. Noi lo indichiamo con una FRECCIA che indica il verso da sinistra verso destra.
Tale retta rappresenta i NUMERI REALI.
Su di essa riportiamo l'ORIGINE rappresentata dallo ZERO.
Agli estremi della retta riportiamo i simboli
-∞
meno infinito
e
+∞
più infinito
I due simboli meno infinito e più infinito non indicato un punto particolare della retta, ma solamente che la retta è illimitata, cioè infinita, sia a sinistra che a destra.
Per rappresentare graficamente le soluzioni di una disequazione si usano le seguenti convenzioni:
- la LINEA CONTINUA indica i valori che SODDISFANO la disequazione;
- la LINEA TRATTEGGIATA indica i valori che NON SODDISFANO la disequazione;
- il CERCHIETTO PIENO indica che il valore è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione;
- il CERCHIETTO VUOTO indica che il valore NON è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione.
Nel nostro esempio la soluzione sarebbe stata indicata così:
Esaminiamo il grafico:
- la linea continua va dal valore -3 a più infinito: questi sono i valori che soddisfano la disequazione;
-
sul valore -3 c'è un cerchietto vuoto perché -3 non è compreso tra le soluzioni della disequazione;
-
la linea discontinua va da meno infinito a -3: questi valori non soddisfano la disequazione.
Vediamo, con qualche altro esempio, come si può indicare graficamente la soluzione di una disequazione:
| SOLUZIONE DELLA DISEQUAZIONE | RAPPRESENTANZIONE GRAFICA |
|---|---|
| x > +5 |  In questo caso la disequazione è verificata solamente per i valori superiori a +5. Il valore +5 è escluso per questo, su di esso, è stato indicato un cerchietto vuoto. |
| x ≤ -2 |  In questo caso la disequazione è verificata solamente per i valori inferiori a -2. Il valore -2 è incluso tra le soluzioni per questo, su di esso, è stato indicato un cerchietto pieno. |
| -1 ≤ x < 0 |  In questo caso la disequazione è verificata per i valori compresi tra -1 e 0. Il valore -1 è incluso tra le soluzioni per questo, su di esso, è stato indicato un cerchietto pieno. Il valore 0, invece, è escluso dalle soluzioni e su di esso è stato indicato un cerchietto vuoto. |
Un terzo modo per rappresentare i risultati di una disequazione è basato sul concetto di INTERVALLO NUMERICO.
Dati due numeri
a, b
con
a < b
chiamiamo INTERVALLO NUMERICO tutti i NUMERI COMPRESI tra a e b.
I numeri a e b si dicono ESTREMI dell'INTERVALLO:
- a è l'ESTREMO INFERIORE;
- b è l'ESTREMO SUPERIORE.
I due ESTREMI a e b possono essere COMPRESI o MENO nell'INTERVALLO.
L'INTERVALLO si dice:
- CHIUSO se COMPRENDE i suoi estremi;
- APERTO se NON COMPRENDE i suoi estremi.
Un INTERVALLO NUMERICO viene rappresentato con delle PARENTESI TONDE o QUADRE all'interno delle quali vengono scritti l'ESTREMO INFERIORE e quello SUPERIORE separati da un punto e virgola.
Si usano le PARENTESI TONDE se l'ESTREMO è ESCLUSO dall'intervallo.
Si usano le PARENTESI QUADRE se l'ESTREMO è INCLUSO nell'intervallo.
Quindi, la soluzione precedente
x > - 3
si può scrivere anche
(-3; +∞)
Esaminiamo quanto abbiamo scritto:
- la nostra disequazione è verificata per i valori compresi nell'intervallo numerico -3, più infinito;
- abbiamo usato le parentesi tonde perché sia -3, che più infinito non sono compresi nelle soluzioni della disequazione.
Vediamo, con qualche altro esempio, come si può indicare la soluzione di una disequazione con gli intervalli:
| SOLUZIONE DELLA DISEQUAZIONE | RAPPRESENTANZIONE GRAFICA |
|---|---|
| x > +5 | (+5; +∞) In questo caso la disequazione è verificata dai numeri compresi nell'intervallo +5, più infinito. Abbiamo usato le parentesi tonde perché sia +5, che più infinito non sono compresi nelle soluzioni della disequazione. |
| x ≤ -2 | (-∞; -2] In questo caso la disequazione è verificata dai numeri compresi nell'intervallo meno infinito, -2. Abbiamo usato dapprima una parentesi tonda, perché l'estremo inferiore, meno infinito, non è compreso tra le soluzioni. La seconda parentesi, invece, è quadra perché l'estremo superiore -2 è compreso nelle soluzioni della disequazione. |
| -1 ≤ x ≤ 0 | [-1; 0) In questo caso la disequazione è verificata dai numeri compresi nell'intervallo -1, 0. Abbiamo usato dapprima una parentesi quadra, perché l'estremo inferiore, -1, è compreso tra le soluzioni. La seconda parentesi, invece, è tonda perché l'estremo superiore 0 non è compreso nelle soluzioni della disequazione. |
