LE FORMULE DI WARING
- Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
- Sistemi simmetrici
- Sistema simmetrico fondamentale
- Prodotti notevoli
- Quadrato di un binomio
Supponiamo di dover risolvere un sistema del tipo:
Un sistema di questo tipo può essere risolto applicando le cosiddette FORMULE DI WARING.
Le FORMULE DI WARING ci permettono di ricondurre un sistema di questo tipo in un sistema simmetrico fondamentale.
Trattandosi di varie formule noi esamineremo le prime quattro, in questa lezione e nelle prossime.
Iniziamo con l'esaminare il caso in cui
n = 2.
Il nostro sistema si presenterà nel modo che segue:
Dallo studio dei prodotti notevoli sappiamo che possiamo scrivere il quadrato di un binomio nel modo seguente:
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy.
Ora aggiungendo ad entrambi i membri -2xy, avremo:
(x + y)2 -2xy = x2 + y2 + 2xy - 2xy
(x + y)2 -2xy = x2 + y2.
Quindi, quando ci troviamo di fronte ad un'equazione del tipo
x2 + y2
possiamo scriverla come
(x + y)2 -2xy.
Applicando tale formula, il nostro sistema può essere scritto così:
Poiché sappiamo, dalla prima equazione del sistema, che
x + y = a
sostituiamo questo valore nella seconda equazione e avremo:
Ora portiamo a2 a secondo membro
Ora cambiamo di segno a tutti i termini della seconda equazione e dividiamo per 2:
Come possiamo notare abbiamo ricondotto il nostro sistema al sistema simmetrico fondamentale.
Vediamo un esempio:
Usiamo la formula di Waring e scriviamo il sistema nel seguente modo:
Poiché sappiamo che
x + y = 38
sostituiamo tale valore nella seconda equazione e abbiamo
Portiamo 1444 a secondo membro, cambiamo di segno e dividiamo per 2:
Posto:
S = 38
P = 297.
L'equazione risolvente del sistema è:
t2 - 38t + 297 = 0
quindi
Il nostro sistema avrà come soluzioni:
(11, 27); (27, 11).
