LE FORMULE DI WARING
- Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
- Sistemi simmetrici
- Sistema simmetrico fondamentale
- Le formule di Waring
- Prodotti notevoli
- Cubo di un binomio
- Raccoglimento a fattor comune parziale
Continuiamo l'esame delle FORMULE DI WARING e supponiamo di dover risolvere un sistema del tipo
Dallo studio dei prodotti notevoli sappiamo che possiamo scrivere il cubo di un binomio nel modo seguente:
(x + y)3 = x3 + y3 + 3x2y + 3xy2.
A secondo membro, possiamo eseguire un raccoglimento a fattore comune parziale mettendo in evidenza il 3xy e avremo:
(x + y)3 = x3 + y3 + 3xy (x + y).
Ora aggiungendo ad entrambi i membri -3xy (x + y), avremo:
(x + y)3 - 3xy (x+y) = x3 + y3 + 3xy (x + y) - 3xy (x+y)
(x + y)3 - 3xy (x+y) = x3 + y3.
Quindi, quando ci troviamo di fronte ad un'equazione del tipo
x3 + y3
possiamo scriverla come
(x + y)3 - 3xy (x + y).
Applicando tale formula, il nostro sistema può essere scritto così:
Poiché sappiamo, dalla prima equazione del sistema, che
x + y = a
sostituiamo questo valore nella seconda equazione e avremo:
Ora portiamo a3 a secondo membro
Ora cambiamo di segno a tutti i termini della seconda equazione e dividiamo per 3a:
Come possiamo notare abbiamo ricondotto il nostro sistema al sistema simmetrico fondamentale.
Vediamo un esempio:
Usiamo la formula di Waring e scriviamo il sistema nel seguente modo:
Poiché sappiamo che
x + y = 6
sostituiamo tale valore nella seconda equazione e abbiamo
Portiamo 216 a secondo membro, cambiamo di segno e dividiamo per 18:
Posto:
S = 6
P = 8.
L'equazione risolvente del sistema è:
t2 - 6t + 8 = 0
quindi
Il nostro sistema avrà come soluzioni:
(2, 4); (4, 2).
