DISEQUAZIONI RICONDUCIBILI AD UN PRODOTTO DI FATTORI DI PRIMO GRADO
- Disuguaglianze e disequazioni
- Disequazioni ridotte a forma normale
- Rappresentazione delle soluzioni di una disequazione
- Raccoglimento a fattor comune
- Moltiplicazione di numeri relativi
- Prodotti notevoli
- Somma di due monomi per la loro differenza
Immaginiamo di dover risolvere la seguente disequazione:
x2 - 5x > 0.
Come possiamo notare si tratta di una disequazione di secondo grado. Tuttavia, questa disequazione può essere ricondotta ad un PRODOTTO di FATTORI di PRIMO GRADO.
A primo membro mettiamo in evidenza la x e abbiamo:
x (x - 5) > 0.
In questo modo abbiamo scritto la nostra disequazione sotto forma di un prodotto i cui fattori sono:
x
e
x - 5
entrambi di primo grado.
Noi dobbiamo cercare i valori di x che rendono la disequazione maggiore di zero, cioè positiva.
Per la REGOLA dei SEGNI sappiamo che un PRODOTTO è POSITIVO quando:
- ENTRAMBI I FATTORI sono POSITIVI;
- o
- ENTRAMBI I FATTORI sono NEGATIVI.
Vediamo allora quando il primo fattore x è positivo.
Si tratta di impostare la disequazione:
x > 0.
La rappresentiamo graficamente su una retta orientata. Per rendere più semplice il grafico omettiamo di indicare su di esso meno infinito e più infinito che sono sottointesi.
Ora vediamo quando il secondo fattore, ovvero x - 5, è maggiore di zero. Si tratta di impostare la disequazione:
x - 5 > 0
ovvero
x > 5.
Rappresentiamo anche il risultato di questa disequazione sulla nostra retta orientata e avremo:
Ora ricordiamo che:
- la LINEA CONTINUA rappresenta i valori dell'incognita che rendono POSITIVA la disequazione;
- la LINEA TRATTEGGIATA rappresenta i valori dell'incognita che rendono NEGATIVA la disequazione.
Ora studiamo il segno della nostra disequazione che non è altro che il prodotto dei due fattori:
Abbiamo contraddistinto le varie parti del grafico con colori diversi per rendere più chiara la spiegazione.
La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra +5 e più infinito. In questo intervallo entrambe le disequazioni sono positive e dunque, anche il loro PRODOTTO è POSITIVO.
La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra 0 e +5. In questo intervallo una disequazione è positiva e l'altra è negativa. Quindi il PRODOTTO è NEGATIVO.
La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e 0. In questo intervallo entrambe le disequazioni sono negative e dunque, il loro PRODOTTO è POSITIVO.
Poiché noi dobbiamo cercare i valori della x che rendono positiva la nostra disequazione possiamo dire che ciò accade quando
x < 0
o
x > 5.
Vediamo un altro esempio:
x2 - 4 < 0.
Come possiamo notare si tratta di una disequazione di secondo grado. Tuttavia, questa disequazione può essere ricondotta ad un PRODOTTO di FATTORI di PRIMO GRADO.
Quello indicato a primo membro, infatti, è un prodotto notevole ed esattamente la somma di due monomi per la loro differenza. Quindi possiamo scrivere:
(x - 2) (x +2) < 0.
In questo modo abbiamo scritto la nostra disequazione sotto forma di un prodotto i cui fattori sono:
x - 2
e
x + 2
entrambi di primo grado.
Noi dobbiamo cercare i valori di x che fanno sì che la disequazione sia minore di zero.
Vediamo allora quando il primo fattore x - 2 è negativo.
Si tratta di impostare e risolvere la disequazione:
x - 2 < 0.
Ovvero
x < +2.
La rappresentiamo graficamente su una retta orientata.
Ora vediamo quando il secondo fattore, ovvero x + 2, è minore di zero. Si tratta di impostare la disequazione:
x + 2 < 0
ovvero
x < -2.
Rappresentiamo anche il risultato di questa disequazione sulla nostra retta orientata e avremo:
Ora ricordiamo che:
- la LINEA CONTINUA rappresenta i valori dell'incognita che rendono POSITIVA la disequazione;
- la LINEA TRATTEGGIATA rappresenta i valori dell'incognita che rendono NEGATIVA la disequazione.
Ora studiamo il segno della nostra disequazione che non è altro che il prodotto dei due fattori:
La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra +2 e più infinito. In questo intervallo entrambe le disequazioni sono positive e dunque, anche il loro PRODOTTO è POSITIVO.
La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra -2 e +2. In questo intervallo una disequazione è positiva e l'altra è negativa. Quindi il PRODOTTO è NEGATIVO.
La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e -2. In questo intervallo entrambe le disequazioni sono positive e dunque, il loro PRODOTTO è POSITIVO.
Poiché noi dobbiamo cercare i valori della x che rendono negativa la nostra disequazione possiamo dire che ciò accade quando x è compreso tra -2 e +2. Ovvero:
-2 < x < +2.
- 1 - Esercizio sulle disequazioni riconducibili al prodotto di fattori di primo grado
- 2 - Esercizio sulle disequazioni riconducibili al prodotto di fattori di primo grado
